Arquivo de ajuda: Como calcular área de polígonos irregulares

Não existem fórmulas específicas para calcularmos perímetro (distância) e área de polígonos irregulares, por isso, existem formas mais eficazes de se fazer isto.
Vou mostrar aqui no blog, duas maneiras de calcularmos a área de um polígono irregular, segue:

1ª Maneira: Utilizando o Vetor:

Uma prática pouco conhecida, mas muito eficaz, é o cálculo de áreas de polígonos irregulares, utilizando as coordenadas dos vértices do mesmo.
Vamos direto para um exemplo prático, mostrando o passo à passo do processo:

Dadas as coordenadas de um polígono côncavo qualquer: 
A(-3; -5) B(-1; -2) C(-6; 2) D(4 ;7) E(2; 1) F(3; -3), calcule sua área.

O primeiro passo a se fazer numa situação dessas, é desenhar o polígono num plano cartesiano:

Trace as coordenadas fornecidas no problema, através do plano cartesiano:

Marque os pontos das coordenadas encontradas:

Feito isso, ligue todas as coordenadas, mas lembre-se de fazer isso de acordo com a ordem em que as coordenadas foram dadas, no caso, a ordem seria esta: A(-3; -5) B(-1; -2) C(-6; 2) D(4 ;7) E(2; 1) F(3; -3) Isso é muito importante!

*Caso tenha dificuldades de entender como isso foi feito, clique aqui para ver.

Agora nomeie os vértices desse hexágono, mas com um detalhe: Faça isso no sentido anti-horário, ou seja, da direita para a esquerda!

Como assim? Se a ordem é: (-3; -5) (-1; -2) (-6; 2) (4 ;7) (2; 1) (3; -3) nomeie cada vértice à partir da última coordenada fornecida, até chegar na primeira.

Esse meu hexágono terá vértices ABCDEF, então por exemplo, o vértice na coordenada (3,-3) será A, e o vértice na coordenada (2,1) será B, e assim por diante:

Aqui está nosso polígono irregular:

Vamos agora calcular sua área utilizando as coordenadas de seus vértices!

Agora no segundo passo, vamos utilizar o vetor:

Através dos vértices:

A=(3; -3)

B=(2; 1)

C=(4 ;7)

D=(-6; 2)

E=(-1; -2)

F=(-3; -5)    

Crie uma tabela vetorial seguindo a ordem dos vértices ABCDEF, e repetindo as coordenadas do primeiro vértice:

Agora multiplique o termo da coordenada x pelo termo da coordenada y, mas dessa maneira:

Ou seja, multiplicará 3 por 1. Faça o mesmo processo até o final:

Então você ficou com: 

3*1 = 3

2*7 = 14

4*2 = 8

(-6)*(-2) = 12

(-1)*(-5) = 5

(-3)*(-3) = 9

Some os produtos das multiplicações: 3+14+8+12+5+9 = 51

Guarde esse resultado e agora faça o inverso do que acabou de ser feito na tabela vetorial, multiplique os termos das coordenadas y pelos termos das coordenadas x, dessa forma:

Novamente multiplique e some tudo:

(-3)*2 = -6

1*4 = 4

7*(-6) = - 42

2*(-1) = -2

(-2)*(-3) = 6

(-5)*3 = -15

(-6) + 4 (-42) + (-2) + 6 + (-15) = -55

Agora temos dois resultados: 51 e -55. Com isso, subtraia o maior dentre eles pelo menor, no caso: 51 - (-55) = 106

Agora divida esse resultado por 2 e obtenha a área do polígono: 106/2 = 53

Resposta: 53 de área.

*Caso o resultado da área dê um valor negativo, utilize o módulo para finalizar a resposta, pois não existe área negativa.

Vamos ver agora com um polígono irregular convexo:

Dadas as coordenadas: A(2;5) B(-2; 4) C(-3; -4) D(6;2) 

Primeiro jogue no gráfico:

Ligue os pontos conforme a ordem das coordenadas!

Ao a criar a tabela vetorial, você precisa seguir a ordem das coordenadas conforme mostrado no gráfico, no sentindo anti-horário, normalmente começando pelas coordenadas do ponto "A'', ou seja:

Na tabela teremos o seguinte:

2  5  (A)

6  2  (D)

-3 -4 (C)

-2 4 (B)

2  5 (A)

Multiplicando cruzado:

2 * 2 = 4

6 * (-4) = - 24

(-3) * 4 =  - 12

(-2) * 5 = - 10

4 + (-24) + (-12) + (-10) = - 42 ou no módulo -> |-42| = 42

E agora multiplicando do outro lado:

5 * 6 = 30

2 * (-3) = - 6

(-4) * (-2) = 8

4 * 2 = 8

30 + (-6) + 8 + 8 = 40

Agora junte ambos resultados:

42 + 40 =  82 

Divida por dois: 82/2 = 41

E tenha o resultado em área: 41 de área.

Quer praticar? Tente encontrar a área do polígono irregular convexo, cujas coordenadas são: (20; -8) (16; 6) (12; 12) (-6;16) (-10; -4)

A resolução se encontra logo abaixo:

R: 488 de área.

2ª Maneira: Decompondo em polígonos simples:
Com certeza o método mais conhecido e talvez mais utilizado para se calcular área de polígonos irregulares se dá por este método, onde você pode decompor um polígono irregular em figuras geométricas mais simples como triângulos, retângulos, quadrados, e etc.
Vamos ver um exemplo? Como poderíamos calcular a área deste quadrilátero irregular?

Observe que temos todas as medidas dos lados necessários, o que torna nossa situação mais fácil, mas no próximo exemplo isso não irá proceder, mas se atente a este exemplo primeiramente.
Note que podemos ''decompor'' esse quadrilátero irregular em dois triângulos:

Note também que o triângulo da esquerda é um triângulo retângulo, e que seus catetos medem 26 e 48 metros:

Ora, então não tem complicação, para calcularmos a área de um triângulo qualquer basta multiplicar a altura do mesmo pela sua base e dividir por dois:



E como sabemos que num triângulo retângulo a base e a altura são seus catetos, basta fazermos:



Aí está! A área do primeiro triângulo é de 624 m².

Mas não acaba por aí! Vamos calcular o triângulo da direita, e perceba que ele não é um triângulo retângulo e sim um triângulo obtusângulo.
A primeira coisa a se fazer é encontrarmos o ângulo suplementar deste ângulo obtuso: 180° - 120° = 60°
Certo, o complemento do ângulo obtuso desse triângulo mede 60 graus, basta agora utilizamos outra fórmula para o cálculo da área de triângulos, onde você pode utilizá-la apenas conhecendo um de seus dois lados e o ângulo referente à esses lados, a fórmula é a seguinte:



Onde b e c são os lados conhecidos, e ''sen(x)'' é seno do ângulo referente aos lados conhecidos.

Então, jogando esses valores na fórmula teremos:



Primeiro vamos multiplicar os lados: 45*23 = 1035.
Certo, agora observe que o meio significa a metade do número que ele está multiplicando, ou seja a metade de 1.035 = 517,5.
Na fórmula então temos:



Seno de 60 graus é 3 raiz sobre 2, segundo a tabela dos arcos notáveis, então:



Dividindo 517,5 por 2 temos: 517,5/2 = 258,75.
Portanto a área deste triângulo é de 258,75√3 ou 448 metros quadrados, aproximadamente.

Bom, já temos as medidas da área dos dois triângulos: 448 m² e 624 m², para saber a área total do polígono irregular, basta somar as duas áreas: 624+448 = 1072 m²
Logo, este polígono irregular convexo possui 1072 m² de área total.

E no caso deste outro quadrilátero irregular que não possui a medida de todos os lados?

O que fazer?
O primeiro passo a se fazer é decompor o polígono irregular em outros polígonos mais simples, como visto no exemplo acima.
Neste caso, observe que podemos dividir esse polígono em novamente dois triângulos:

Note que cortando esse polígono diagonalmente ao meio, além de formamos dois triângulos, ainda dividimos aquele ângulo de 75 graus em duas partes, ficando com um ângulo de 40 graus e outro de 35 graus (Um é o suplemento do outro).
Para encontrarmos os outros dois ângulos, basta lembrar que: A soma dos três ângulos internos é igual à 180 graus.
Se no triângulo ADB temos 90 graus e 40 graus, basta fazermos a equação para encontramos o terceiro ângulo:
90° + 40° + x = 180°
x = 180° - 90° - 40° 
x= 50°

Então o terceiro ângulo do triângulo ADB tem 50 graus. O mesmo faremos com o triângulo DBC ----> 35° + 85° + x = 180° ---> x = 180° - 35° - 85° --> x = 60°.
Logo, o terceiro ângulo do triângulo DBC, tem exatamente 60 graus:

Pois bem, vamos calcular os lados desses triângulos, começando pelo triângulo ADB.
Em AB temos 200 metros, e devemos encontrar os outros três lados desse triângulo, os lados AD e DB(hipotenusa).
Como temos mais informações sobre os ângulos que os lados, podemos utilizar a lei do Senos para resolver esse caso!
Vamos primeiramente encontrar o lado DB! Para fazer isso, basta aplicar a Lei dos Senos, relacionando os lados com seus ângulos opostos, no caso, DB tem como ângulo oposto o ângulo reto de 90 graus, e o lado AB (único lado conhecido) tem como ângulo oposto 50 graus:





Seno de 50 graus é igual à 0,766044 e seno de 90 graus é igual à 1, então:



Multiplicando em cruz teremos:



Isolando DB:



Então o lado DB mede 261,08 metros! Vamos calcular agora o lado AD seguindo o mesmo esquema:





Seno de 50 graus, como sabe é 0,766044 e seno de 40 graus é igual à 0,642788, então:



Multiplique cruzado:






Então o lado AD mede 167,82 metros:

Certo! Temos todos os lados desse triângulo, mas antes de calcularmos sua área, vamos encontrar os outros dois lados do triângulo DBC. Note que o lado DB do triângulo DBC, é a hipotenusa do triângulo ADB e consequentemente a hipotenusa do triângulo DBC.
Vamos então encontrar o lado BC, utilizando o lado DB como referência:



Nesse triângulo DBC, o ângulo oposto ao lado DB é 85 graus, já o ângulo oposto à BC é 60 graus:



Seno de 85° = 0,996195
Seno de 60° = 0,866025








Então o lado BC mede 226,96 metros.
Para o lado DC temos:















Então temos por fim, o lado DC = 150,32 metros:

Bom, agora podemos finalmente calcular a área dos triângulos:
Triângulo ADB é um triângulo retângulo, então sua área pode ser calculada da seguinte forma:
Base vezes altura dividido por dois. Como temos um triângulo retângulo, a base e a altura são os catetos:



Certo, no caso do triângulo DBC, temos um triângulo acutângulo, então podemos calcular sua área da seguinte forma:



Então temos:








Pois bem, a área do triângulo DBC é igual à 16993 m².
Agora basta somarmos as duas áreas: 16782 + 16993 = 33775 m². 
Logo, a área total desse polígono irregular é de 33.775 metros quadrados.