Os Logaritmos: Propriedades Operatórias ~ Aulas da May

Na aula passada você conheceu os logaritmos, aprendeu como resolver pequenas equações logarítmicas, descobriu como utilizar a tábua de logaritmos e conheceu os logaritmos decimais. Nesta aula, iremos avançar mais um pouco e iremos conhecer as Propriedades Operatórias dos Logaritmos, vamos lá?

Propriedade 1: Logaritmo de um produto:
Se temos uma multiplicação de logaritmos com bases iguais, então temos consequentemente uma soma entre eles:

$\log_{a}(b*c) = \log_{a} b + \log_{a} c$

Propriedade 2: Logaritmo de um quociente:
Se temos uma divisão entre logaritmos de bases iguais, então temos consequentemente uma subtração entre eles:

$\log_{a}(\frac{b}{c}) = \log_{a} b - \log_{a} c$

Propriedade 3: Logaritmo de uma potência:
Se temos uma potência de logaritmo, então o expoente dessa potência passa a ser um número que multiplicará o logaritmo de sua base:

$\log_{a}{b}^{n} = n*\log_{a}b$

Bem, essas são as principais propriedades operatórias dos logaritmos, ainda falta mencionar a quarta propriedade sobre mudança de base, mas isso deixaremos exclusivamente para a próxima aula.
Pois bem, guarde essas propriedades pois usaremos muito delas nas aulas posteriores e nesta aula também!
Mas, você deve ter visto esse monte de letras misturadas e não deve ter compreendido muito bem, certo? Não se preocupe, nós vamos aprender passo à passo, como utilizar corretamente cada uma dessas propriedades, vamos ver diretamente um exemplo prático para essas aplicações?

Sabendo que log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47; determine log 24:

$\log 24$

Se temos aqui uma base oculta, então temos consequentemente uma logaritmo decimal, correto? Então não tem segredo, basta fatorar o 24:

24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1

Então temos 2³.3, certo? Logo temos:

$\log 2³ . \log 3$

Bom, aqui podemos aplicar duas propriedades das operações entre logaritmos, primeiramente a propriedade 1, que diz que quando temos uma multiplicação entre logaritmos de mesma base, temos consequentemente uma soma entre eles, então:

$\log 2³ + \log 3$

Agora perceba que podemos aplicar mais uma propriedade operatória entre logaritmos, a propriedade 3 que nos diz que quando temos uma potência de logaritmo, devemos passar esse expoente da potência para frente do log, multiplicando o logaritmo de sua base, então:

$3.\log 2 + \log 3$

Perceba que o expoente 3 do log de 2, agora multiplica o mesmo.
Pois bem, segundo o enunciado do problema: Log2 = 0,3 e Log3 = 0,47
Substituindo então log de 2 e log de 3 por esses números, teremos:

3.0,3 + 0,47

Multiplicando 3 por 0,3 iremos obter 0,9:

0,9 + 0,47

Ué, agora não há dificuldades, basta somar 0,9 com 0,47 para obter o resultado final:

0,9 + 0,47 = 1,37

Então o log de 24 é igual à aproximadamente 1,37:

log24 = 1,37

Outros exemplos:

Vamos calcular os logs dos seguintes números:

$log18\par log125 = \par log600 = \par log100000 = \par log{4}^{5} =\par log{24}^{9} =\par log320 =\par log ({6}^{5})^{3} = \par log0,44 = \par log1,25 = \par log \sqrt[6]{{12}^{3}} =\par log \sqrt[]{128} = \par log \sqrt[7]{132} = \par log \sqrt[]{2,6} =\par$

$log \frac{42}{3} = \par$ $log \frac{4}{5} =$

Então iremos calcular um por um, para que você possa pegar o jeito!

Antes disso, tenha em mente que é sempre bom decorar os logs de alguns números primos como: log2, log3, log5, log7, log11 e log13, que serão muito utilizados aqui:

log2 = 0,3
log3 = 0,5
log5 = 0,7
log7 = 0,85
log11 = 1,04
log13 = 1,11

Claro, esses não são os logaritmos exatos desses números, mas são bem aproximados e não alteram muito a resolução.

Primeiro log a ser calculado:

log18

O primeiro passo a se fazer é decompor em fatores primos o número 18:

18| 2
9 | 3
3 | 3
1

Então temos:

2.3²

log2 * log3²

Aplicando a propriedade dos produtos dos logaritmos, iremos transformar essa multiplicação em soma:

log2 + log3²

Agora temos que aplicar a terceira propriedade, a propriedade da potência do logaritmo:

log2 + 2.log3

Por fim, já sabemos que log de 2 = 0,3 e log de 3 = 0,5; então:

0,3 + (2*0,5 )
0,3 + 1 = 1,03

Então o log de 18 é igual à aproximadamente 1,3.

Próximo:

log125:

Decompondo o 125 em fatores primos:

125| 5
25 | 5
5 | 5
1

5³

Então temos: log5³
Para resolver esse logaritmo, basta aplicar a propriedade 3, da potência de logaritmos:

3*log5
3*0,7 = 2,1

Então o log de 125 é igual à aproximadamente 2,1.
Confira esse resultado em sua calculadora cientifica, onde ao digitar 125 e depois pressionar a tecla ''log'' aparecerá o resultado: 2,096... Ou seja, um resultado bem aproximado à 2,1; o que encontramos.
Continuando...

log600

A gente bem que poderia decompor esse 600 em fatores primos, mas você não acha que há um modo mais fácil de resolver esse logaritmo?
Veja bem, 600 é a mesma coisa que: 6*100, não?
Então podemos fazer o log de 600 da seguinte forma:

log6 * log100

Aplicando a primeira propriedade dos logaritmos:

log6 + log100

Sabemos também que log100 = 2 (só contar a quantidade de zeros); então:

log6 + 2

Agora sim podemos decompor o 6 em fatores primos, o que é muito mais fácil que decompor o 600:

6 | 2
3 | 3
1

Então teremos:

log2 * log3 + 2
log2 + log3 + 2
0,3 + 0,5 + 2 = 2,8

Próximo...

log100.000

Antes de entrar em pânico graças ao tamanho do número, pense... É só contar a quantidade de zeros: log100.000 = 5

Mais um...

$log{4}^{5}$

Aqui é fácil, basta aplicar a propriedade da potência de logaritmos, primeiramente:

5*log4

log4 = 2² (Decompondo em fatores primos); logo:

5*log2²

Novamente aplicando a mesma propriedade das potências de logaritmos:

5*2*log2
10*0,3 = 3

Vamos ao próximo:

$log{24}^{9}$

Começamos aplicando a 3ª propriedade dos logaritmos:

9*log24

Decompondo o 24:

24|2
12|2
6 | 2
3 | 3
1

2³ * 3 = log2³ * log3

Aplicando novamente essa propriedade de potências, teremos:

3*log2 * log3
3*0,3 + 0,5
0,9 + 0,5 = 1,4

Então...

9*1,4 = 12,6

Próximo a ser resolvido:

log320

320 é a mesma coisa que: 32*10, então:

log32 * log10

Aplicando a primeira propriedade:

log32 + log10

Sabendo-se que log10 =1, temos:

log32 + 1

Decompondo o 32:

32|2
16|2
8 |2
4 |2
2 |2
1

${2}^{5}$

Então temos:

$log{2}^{5} + 1$

Aplique a terceira propriedade:

$5*log{2} + 1\par 5 * 0,3 + 1\par 1,5 + 1 = 2,5$

Próximo a ser resolvido:

$log({6}^{5})^{3}$

Pela propriedade das potências, podemos multiplicar os expoentes e conservar a base, logo:

$log({6}^{5})^{3} \rightarrow log{6}^{5*3} \rightarrow log{6}^{15}$

Então ficamos com:

$log{6}^{15}$

Aplique a 3ª propriedade:

15*log6

Ao fatorar o 6 você irá encontrar: log2 * log3, então aplique a primeira propriedade: log2 + log3
Sabendo os logs de 2 e 3, obtenha: 0,3 + 0,5 = 0,8; então:

15*0,8 = 12

Vamos ao próximo...

log0,44

Aqui finalmente iremos utilizar a segunda propriedade, do quociente de um logaritmo:

Perceba que podemos transformar esse decimal numa simples fração:

$log\frac{44}{100}$

Agora que temos uma divisão de logaritmos, podemos utilizar a segunda propriedade: Ou seja, se temos uma divisão de logaritmos, temos consequentemente uma subtração entre eles:

$log\frac{44}{100} = log44 - log100$

Sabemos que log100 = 2, então basta fatorar o 44:

44|2
22|2
11|11
1

Então temos:

log2² * log11

Aplicando as propriedades da potência e do produto:

2*log2 + log11

2 * 0,3 + 1,04 = 2,1

Então por fim temos:

1,64 - 2 = -0,36

Lembre-se: Sempre que um número for menor que 1, seu logaritmo será negativo, é o caso do log de 0,44.

Mais outro:

log1,25

Novamente podemos transformar esse log de número decimal, numa fração:

$log\frac{125}{100}$

Aplicando a segunda propriedade teremos:

log125 - log100

Sabendo que: log100 = 2:

125 - 2

Agora fatoremos o 125:

125|5
25 |5
5 | 5
1

log5³ - 2

3*log5 - 2

3*0,7 -2 = 0,1

Agora vamos resolver:

$log\,\sqrt[6]{{12}^{3}}$

Aqui o segredo é nos livramos da raiz! Como podemos fazer isso? Simples! Iremos radiciar transformando essa raiz, num número com expoente fracionário!
Então teremos:

$log {12}^{\frac{3}{6}} \rightarrow log {12}^{\frac{1}{2}}$

Note que simplifiquei 3/6 por 3 e fiquei com 1/2.
Agora podemos aplicar a terceira propriedade dos logaritmos que envolve as potências:

$\frac{1}{2} * log12$

Vamos encontrar o log de 12 para terminarmos essa multiplicação. Para isso, fatore o 12:

12|2
6 |2
3 |3
1

log2² * log3
2*log2 + log3
2*0,3 + 0,5 = 1,1

Então temos:

$\frac{1}{2} * 1,1$

Agora faça a multiplicação como se pede! Você tem duas possibilidades de fazer isso:

1ª Possibilidade: Você pode transformar o meio em decimal:

$\frac{1}{2} = 0,5$

Agora basta multiplicar:

0,5 * 1,1 = 0,55

2º Possibilidade: Ou pode multiplicar direto da forma como os números estão:

$\frac{1}{2} * \frac{1,1}{1} = \frac{1,1}{2} = 0,55$

Ai está!

Podemos resolver agora:

$log\,\sqrt[]{128}$

Novamente devemos nos livrar desta raiz, como a raiz quadrada de 128 não é exata, teremos que decompor o 128:

128|2
64 |2
32 |2
16 |2
8 |2
4 |2
2 |2
1

Teremos então:

$log\,\sqrt[]{{2}^{7}}$

Mas ainda não nos livramos da raiz! Para isso vamos ter que radiciar:

$log\,\sqrt[]{{2}^{7}} = log{2}^{\frac{7}{2}}$

Agora sim! Vamos aplicar a 3ª Propriedade:

$\frac{7}{2} * log2$

Sabemos que o log de 2 é 0,3; então:

$\frac{7}{2} * 0,3$

Vamos resolver essa multiplicação diretamente com o número fracionário, mas se você preferir, você pode transformá-lo num número decimal, o resultado obtido será o mesmo em ambos os casos, como você pode perceber no exemplo anterior.

$\frac{7}{2} * \frac{0,3}{1} = \frac{2,1}{2} = 1,05$

Vamos resolver mais um?

$log\,\sqrt[7]{132}$

Radiciando:

$log\,\sqrt[7]{132} = {132}^{\frac{1}{7}}$

Aplicando a propriedade 3:

$\frac{1}{7} * log132$

Resolvemos o log de 132 decompondo o mesmo:

132|2
66 |2
33 |3
11 |11
1

log2² * log3 * log11
2*log2 + log3 + log11
2*0,3 + 0,5 + 1,04 = 2,14

Então substituindo log132 por 2,14 a gente vai ter:

$\frac{1}{7} * 2,14$

Agora multiplique direto ou transforme o 1/7 em decimal:

$\frac{1}{7} * \frac{2,14}{1} = \frac{2,14}{7} = 0,30$

Gostou? Vamos fazer mais uma então!

$log\,\sqrt[]{2,6}$

Não se aflija... Podemos transformar esse 2,6 numa fração!

2,6 é o mesmo que: $\frac{26}{10}$

Então temos:

$log\,\sqrt[]{\frac{26}{10}}$

Vamos eliminar essa raiz, radiciando-a. Poderíamos aplicar a propriedade das raízes sobre divisão entre elas, mas veja que com os logaritmos podemos encurtar o processo:

Elimine a raiz, transformando-a num número com expoente fracionário:

$log\,\sqrt[]{\frac{26}{10}} =\, log{\frac{26}{10}}^{\frac{1}{2}}$

Agora aplique a 3ª propriedade:

$\frac{1}{2} * log\frac{26}{10}$

Feito isso, temos uma divisão entre logaritmos! O que isso te lembra? Exatamente! A propriedade 2, então:

log26 - log10

Já sabemos que log10 = 1 -> log26 - 1
Então basta encontrarmos o log de 26 fatorando-o!

26|2
13 |13
1

log2 * log13
0,3 + 1,11 = 1,4

Então temos:

1,4 - 1 = 0,4

Agora substitua log26/10 por 0,4:

$\frac{1}{2} * 0,4$

A metade de 0,4 é igual à 0,2
E está aí o resultado!

Agora vamos resolver rapidamente os logs fracionários (Você viu vários exemplos acima de como resolvê-los!)

Primeiro a ser resolvido:

$log \frac{42}{3} = \par$

Vemos que temos uma divisão entre logaritmos, então temos uma subtração entre eles:

log42 - log3

Fatore o 42:

42|2
21|3
7 |7
1

log2 * log3 * log7
log2 + log3 + log7
0,3 + 0,5 + 0,85 = 1,65

1,65 - log3
1,65 - 0,5 = 1,15

Próximo:

$log \frac{4}{5} =$

Aplique a segunda propriedade:

log4 - log5
log2² - log5
2*log2 - log5
2*0,3 - 0,7 = -0,1

Logaritmos com base diferentes dez:
Vamos ver também como realizar essas operações com logs de bases diferentes de 10, por exemplo:

$\log_2({4*8}) = x$

Uma multiplicação entre logaritmos pode se tornar uma soma, contanto que ambos continuem com a mesma base, então:

$\log_24 + \log_28 = x$

Agora basta encontramos os logs de 4 na base 2 e 8 na base 2, veja:

$2^x = 4$

Sabemos que o número 2 é o número que elevado à dois nos resulta em quatro, então
$2^x = 2^2$

O próximo log também é fácil, fácil:

$2^x = 8$

Se você já está craque neste tipo de equação, nem precisaremos fatorar o 8, pois você já deve saber que:

$2^x = 2^3$

Então temos que o log de 4 na base 2 é 2 e o log de 8 na base 2 é 3, portanto temos:

2 + 3 = x
5 = x

Por tanto, sabendo que x vale 5, para conferir a pequena equação podemos dizer o seguinte, através da definição de logaritmos:

$log_2(4*8) = 5 \Leftrightarrow 2^5 = 4*8$

Pois 2 é a base, 5 (que é o expoente da potência) era o logaritmo, e 4*8 é o logaritmando.
2 elevado à 5 é 32 e 4*8 é 32, então

32 = 32
Equação satisfeita!

Você poderá ver mais exemplos sobre esse tipo de equação nas aulas posteriores sobre equações com logaritmos!

E está feito!
Espero que depois de todos esses exercícios resolvidos você tenha pegado o jeito com as operações em logaritmos!
Leia a próxima aula para continuar com o assunto e bons estudos!!

15 comentários:

Unknown9 de agosto de 2016 às 11:03
Parabens May, uma moça muito inteligente, apesar de não ter comentarios em seu blog, pode ter certeza que seu raciocinio ja ajudou muitas pessoas.
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Unknown18 de setembro de 2016 às 05:55
muito obrigado. vi essa materia a muito tempo e precisava de lembrar de alguns conceitos. valeu mesmo!!
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Unknown29 de outubro de 2016 às 04:51
May peco ajuda
como como resolver uma diferenca de logaritimos de bases diferentes como por exemplo:
log de 32 na base 2, menos log de 1/27 na base 3, menos log de raiz quadrada de 32 na base 32
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Unknown29 de outubro de 2016 às 04:52
May peco ajuda
como como resolver uma diferenca de logaritimos de bases diferentes como por exemplo:
log de 32 na base 2, menos log de 1/27 na base 3, menos log de raiz quadrada de 32 na base 32
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Unknown2 de maio de 2017 às 20:02
como resolver a solução logarítmica:
2log2(x+1)-log4(x²+7)=-1
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AyeshaZZ14 de outubro de 2017 às 16:21
May como faço pra resolver uma fração onde a base e o logaritimando são frações como oor exemplo;
Log 625/16
4/5
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5433 de janeiro de 2018 às 03:14
Muchas gracias por el excelente material didáctico. Me topé con este sitio, y me gustó mucho. Saludos
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Unknown10 de maio de 2018 às 21:27
Parabéns, tem uma propriedade rara nos livros e você postou e que me ajudou bastante, obrigada
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Unknown26 de novembro de 2018 às 08:27
como resolvo isso: 15^x + 9^x = 25
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Aulas da May

quarta-feira, 4 de junho de 2014

Os Logaritmos: Propriedades Operatórias

15 comentários:

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