Arquivo de ajuda: O Apótema

O que é?
O apótema é o segmento de reta que se origina do centro do polígono regular e tem sua extremidade em um dos lados do mesmo, ou seja, o apótema pode formar um ângulo reto de 90 graus em um dos lados do polígono, logo, ele é perpendicular à esse lado.
Lembra-se da aula sobre circunferências? Pense na circunferência e pense sobre o seu raio... O raio é a medida do centro da circunferência até um ponto qualquer na mesma, pois bem, com o apótema podemos pensar quase o mesmo, com a diferença de que ele não é a medida de um ponto qualquer do polígono, mas sim a medida de seu centro até um de seus lados, assim:

Veja acima que o segmento em vermelho nesse quadrado é o apótema do mesmo, onde ele se origina à partir do centro do quadrado, e termina tocando um de seus lados.

Mas pra quê serve?
O apótema é muito útil na geometria plana e na geometria especial também, com ele você pode calcular o raio de uma circunferência inscrita num polígono regular, calcular a distância de um dos lados do polígono até seu centro, e saber a distância entre um ponto médio de uma corda, até o centro de sua circunferência.

Como calcular o apótema?
Vamos deduzir aqui a fórmula geral para o apótema de polígonos regulares!
Mas tenha em mente que para isso, você precisa conhecer as relações trigonométricas básicas. Vamos lá?

Imagine que temos aqui um hexágono inscrito numa circunferência:

Perceba que temos seis triângulos equiláteros que formam esse hexágono.
Pois bem, em qualquer um deles, podemos ver os raios dessa circunferência:

Ambos segmentos em roxo na imagem acima são os raios dessa circunferência circunscrita, e são também os lados do triângulo equilátero!
Agora perceba que a base desse triângulo é um dos lados do hexágono:

Como também temos o ângulo central dessa circunferência que pode ser dado por (360°/n) ou seja, o ângulo de 360 graus (uma volta completa na circunferência) dividido pelo número de lados do polígono (n), no caso 6, então temos esse ângulo central igual à 360/n:

Por fim, podemos traçar o apótema nesse triângulo, à partir do centro do polígono até algum de seus lados, então vamos traçar esse apótema do centro do polígono, até a base do triângulo equilátero:

Note que o apótema dividiu o lado do polígono (base do triângulo) em dois, e fez o mesmo com o ângulo (360°/n), ou seja, além de ser um apótema, esse segmento de reta ainda é uma bissetriz do triângulo.
Então para o ângulo central, teremos agora sua metade, ou seja: 180°/n
E para o lado teremos a mesma situação: L/2 --> Sua metade:

Outro fator a se notar é que o apótema forma a altura do triângulo equilátero, o transformando em dois triângulos retângulos! Vamos observar um deles para deduzirmos a fórmula geral do apótema:

Temos então o triângulo retângulo ALR com um ângulo medindo (180°/n):

Aqui está nosso triângulo retângulo ampliado e virado:

Analisando esse triângulo retângulo, podemos perceber que ele tem como hipotenusa o raio (r) e como catetos  ''l/2'' e o apótema.
Perceba que relacionado ao ângulo central, o apótema (a) é o cateto adjacente e o raio a hipotenusa, ou seja, essa medida é o cosseno do ângulo central do triângulo retângulo (por relacionar hipotenusa com o cateto adjacente):




Isolando ''a'' na equação, podemos passar ''r'' para o outro lado do sinal multiplicando:



Então temos que o apótema de um polígono regular é igual ao cosseno de 180 graus, dividido pelos lados do polígono, vezes o raio da circunferência circunscrita.
Então está aí a fórmula para o apótema dos polígonos regulares! Vamos utilizá-la na prática?
No caso desse hexágono, temos 6 lados, logo o ângulo central é de 180°/6 = 30°.
Substituindo esses valores na fórmula temos:



Verificando na tabela dos arcos notáveis, podemos ver que o cosseno de 30 graus é igual à raiz de 3 sobre dois, então:



Logo, o apótema desse hexágono é igual à raiz de três sobre dois, vezes o raio da circunferência circunscrita.
Quer ver outro exemplo mais específico?

Calcule o apótema do pentágono inscrito numa circunferência de raio igual à 12 cm:

Vamos aplicar a formula do apótema:



Como sabemos que um pentágono possui 5 lados, então n = 5 e que r = 12, logo;



180 dividido por 5 é igual à 36, então temos o cosseno de 36, que verificando na tabela trigonométrica, é igual à aproximadamente 0,809, sendo assim, temos que:



Multiplicando 0,809 por 12 teremos: 9,708 cm.
Então o apótema desse pentágono inscrito numa circunferência de raio igual à 12 cm é de aproximadamente 9,708 cm.

Outro exemplo:

Calcule o apótema do quadrado inscrito numa circunferência de raio igual à 5√2 cm:

Vamos então utilizar a fórmula geral do apótema:



Sabemos que o raio ''r'' vale 5√2 e que um quadrado possui quatro lados, por isto: (180°/n) --> (180°/4) --> 45°.
Logo, teremos o cosseno de 45 graus, que é igual à raiz de 2 sobre dois, então:



Multiplicando teremos:



Agora que temos a raiz de 4 que é igual à dois, podemos cancelar esse dois com o denominador da fração que também é 2 e ficaremos com a = 5
Logo, o apótema desse quadrado inscrito numa circunferência de raio igual a 5 vezes raiz de 2 cm é igual à 5 cm.