Círculo Trigonométrico

O que é?
Um círculo trigonométrico (ou ciclo trigonométrico) é uma circunferência inscrita no plano cartesiano de eixos x e y, onde x é a abcissa e y a ordenada:

  
O círculo trigonométrico é muito utilizado para o estudo mais avançando da trigonometria e suas funções de Seno, Cosseno e Tangente. O círculo trigonométrico também é muito útil para entendermos algumas propriedades trigonométricas, como por exemplo, a dedução da lei dos Senos e Cossenos (vistos nas aulas anteriores).

Propriedades do círculo trigonométrico:
Um círculo trigonométrico possui algumas propriedades fundamentais, que são muito importantes conhecer, são elas:
1. O raio desta circunferência equivale à 1, ou seja, temos um raio unitário. 
O ponto de origem (centro), possui o nome de origem e possui coordenadas (0,0);

2. Num círculo trigonométrico foi convencionado que nós contaremos suas unidades de medidas no sentindo anti-horário, ou seja, da direta para a esquerda, o inverso que fazemos num relógio, que contamos no sentindo horário, por exemplo;

3. As linhas perpendiculares desse plano cartesiano dividem nossa circunferência em quatro partes denominadas de quadrantes. Como nós contamos as unidades de medidas no círculo trigonométrico sob o sentido anti-horário, os quadrantes ficaram desta forma:

    Q1 = Quadrante 1

 Q2 = Quadrante 2

Q3 = Quadrante 3

Q4 = Quadrante 4

4. Em cada ponto dessa circunferência é possível formarmos um ângulo traçando uma reta sob qualquer ponto na mesma, e naturalmente essa reta formará um ângulo à partir do círculo trigonométrico, por exemplo:

Pois bem, sabendo disso, o círculo trigonométrico pode possuir diversos ângulos diferentes à partir de seus pontos, mas há quatro ângulos que são destacados e que é importante saber onde eles estão no círculo trigonométrico.
Vamos marcar quatro pontos nesta circunferência para definirmos melhor nossos ângulos principais, tome como base à isso os pontos A, B, C e D:

No ponto A nós podemos encontrar o ângulo de 0 graus:


Partimos para o ponto B, onde encontraremos o ângulo reto de noventa graus, ou seja, um quarto da volta completa:

No ponto C encontramos o ângulo de 180 graus, que é a metade de uma volta completa no círculo, que equivale à 360 graus:

No ponto D podemos encontrar o ângulo de 270 graus que equivale à três meio da metade de uma volta completa:

E se voltarmos para o ponto A, teremos 360 graus que equivale à uma volta completa:

Aqui estão nossos ângulos principais de 360, 90, 180 e 270 graus.
Porém, no círculo trigonométrico temos mais uma unidade de medida referente à circunferência, os radianos.
Logo, os quatro pontos principais deste círculo trigonométrico podem ser representados em graus ou em radianos.
Então determinando essas medidas em radianos (rad) temos para o ponto A dois pi radianos:

Por que dois pi radianos? Pense bem... Lembra da aula sobre circunferências, onde a fórmula para o comprimento da mesma se dava por 2pi.r? E lembra o que é o comprimento de uma circunferência? O comprimento da circunferência é a distância da mesma, ou quanto ela mede em uma volta completa. Se numa volta completa em graus temos 360, em radianos temos 2.pi.r, a fórmula do comprimento da circunferência que equivale à uma volta completa também. Mas nesse caso, não citamos o raio para o comprimento da circunferência, porque no círculo trigonométrico o raio da circunferência é igual à 1, logo, citar ou não citar o raio na fórmula do comprimento não faria muita diferença por valer 1.

Para o ponto B, pi sobre dois:


Pi sobre dois? Isso significa que em 90 graus temos e metade da metade da volta completa, ou seja, meia volta.
Como assim? Se você ver abaixo, 180 graus equivale à pi, se 180 graus é a metade de uma volta completa (360°), e em radianos uma volta completa equivale à 2.pi, a metade de 2.pi é pi.
Se temos pi sobre dois, temos a metade da volta completa dividida pela sua metade.

Para o ponto C, pi radianos:

Se em radianos uma volta completa equivale à 2.pi, nada mais lógico que sua metade ser equivalente à apenas pi, pois em graus, 180 é a metade da volta completa de 360 graus.

E por fim, para o ponto D temos 3 pi radianos sobre dois:


3 pi radianos sobre dois...
Lembra que no início da aula você viu que em graus o 270 era 3 meio da metade da volta? Então, em radianos seguimos o mesmo pensamento. Se pi equivale à 180 quando se trata de graus, então estamos dizendo que a metade da volta da circunferência vezes 3 divida por dois é meia terça parte da metade. Faça 3 vezes 180 e depois divida por dois e chegue no resultado de 270.

Conclusão: Substitua pi por 180, e obtenha as medidas em graus em função aos radianos:
2.pi = 2.180 = 360°
pi/2 = 180/2 = 90°
pi = 180°
3.pi/2 = 3.180/2 = 270°


Ângulos nos quadrantes:
E agora você se pergunta... Ok, eu já aprendi sobre os principais ângulos em graus e radianos no círculo trigonométrico, mas eles pertencem à qual quadrante?
Veja aqui nosso círculo trigonométrico com suas unidades de medidas:

Aqui você me diria que por exemplo, 360 graus pertence a qual quadrante? Ao quarto ou ao primeiro? E noventa graus? Pertence ao primeiro quadrante ou ao segundo? E o 180° e 270°?

Algumas pessoas preferem afirmar que pertencem à ambos, mas a maioria das pessoas preferem dizer que essas medidas não pertencem a nenhum quadrante específico, e é com base desse pensamento que vamos seguir à diante.

E como determinar em qual quadrante determinado ângulo possa estar? Por exemplo, um ângulo de 80 graus?

Pense um pouco... No primeiro quadrante temos ângulos de zero à 90 graus, sem incluir os próprios. No segundo quadrante temos os ângulos de 90 graus à 180 graus, sem incluí-los. No terceiro quadrante, encontramos ângulos de 180° à 270 graus e novamente sem incluí-los, por fim, no quarto quadrante iremos encontrar os ângulos de 270 graus à 360 graus, sem incluir estes. Perceba também que estamos determinando essas convenções contando os ângulos no sentido anti-horário, o que é completamente correto no círculo trigonométrico.

Portanto, para determinar em quais dos quadrantes um ângulo possa estar, é só verificar entre quais dos ângulos principais ele está, fazendo comparações com os mesmos.

Se queremos saber em qual quadrante o ângulo de 80 graus se encontra, basta analisarmos cada quadrante: No primeiro quadrante temos de 0 à 90 graus: 80 é maior que zero? Sim! E 80 é menor que 90? Sim! Então o ângulo de 80 graus está localizado no quadrante 1, e você pode escrever isso da seguinte forma:

0 < 80 < 90 

E graficamente assim:

Perceba que eu adicionei esse ângulo bem próximo ao ângulo de 90 graus, pois o número 80 é próximo ao 90.

Também podemos concluir que: Este ângulo tem 10 graus de distância para chegar à 90 graus, e 70 graus de distância até chegar à zero graus.

Outro exemplo, onde está localizado o ângulo de 324 graus?

Pense... Primeiro quadrante temos: 0 à 90... 324 é maior que ambos, logo, não pode estar no primeiro quadrante.

No segundo quadrante encontramos ângulos de 90 à 180 graus, e novamente 324 é maior que ambos, vamos ao próximo.

No terceiro quadrante os ângulos vão de 180 graus à 270 graus, e novamente 324 graus é maior que eles, logo, 324 está no quadrante quatro, pois é maior que 270 graus e menor que 360 graus:

270 < 324 < 360

Ou seja, 324° possui 54 graus de distância para chegar à 270 graus e 36 graus para chegar à 360°, logo, este ângulo fica mais próximo ao ângulo de 360 graus.

Graficamente falando, teríamos esse ângulo mais ou menos aqui:

E no caso dos radianos? A qual quadrante, por exemplo, 8 pi radianos sobre 5 pertence?

Para descobrir, basta converter os radianos para graus e determinar seu quadrante.

Para pi substitua por 180 graus (pois pi em radianos equivale à 180 em graus, como visto mais acima) e faça a operação:

8.180/5 = 288 graus

288 graus é maior que 0 e que 90, logo não está no quadrante 1, 288° também é maior que 180 e 270 graus, então não pertence aos quadrantes dois e três, mas 288 graus é maior que 270° e menor que 360°, logo ele se encontra no quarto quadrante: