Fatorial (!)

O que é?

Hoje você vai conhecer uma operação muito utilizada em análise combinatória, o Fatorial!
O Fatorial de um número n pode ser representado pela seguinte operação: n! (lê-se fatorial de ''n'' ou ''n'' fatorial), onde iremos obter o produto de todos os números naturais antecessores à ''n'', até chegarmos à um.
Como assim? Veja uma representação do que foi dito:

Estamos dizendo que o fatorial de ''n'' é igual ao produto de todos os seus antecessores naturais.
Num exemplo numérico você entenderá melhor, por exemplo, o fatorial de 4:

4! = 4.3.2.1 
4.3 = 12 -> 12.2 = 24 -> 24.1 = 24
Logo, o fatorial de 4 é igual à 24 -----> 4! = 24
O que fizemos aqui foi apenas calcular o fatorial de quatro, que não é nada mais nada menos que o produto de todos os seus antecessores, ou seja, os números menores que ele: 3, 2 e 1 (excluindo o zero). E claro, não podemos nos esquecer de incluir o próprio quatro nessa sequência.
Se você for perceber, o fatorial de um número é como uma contagem regressiva à partir dele, até chegarmos à um.


Vejamos outros exemplos de fatoriais:
Fatorial de três:

3! 3.2.1 = 6

5! = 5.4.3.2.1 = 120

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

Note três casos particulares:
O fatorial de 2 é igual à ele mesmo: 2! = 2.1 = 2
O fatorial de 1 também é igual à ele mesmo: 1! = 1
Foi convencionado que o fatorial de zero também é um: 0! = 1

Aplicação dos fatoriais em combinatória:
Agora que você sabe como calcular o fatorial de qualquer número, você poderá aplicar esses conceitos nas aulas posteriores sobre análise combinatória, porém, veja aqui e agora como utilizar os fatoriais:

Qual é o número de anagramas que podemos formar com a palavra ''PENSAR''?

Veja que como se trata de um anagrama, podemos reorganizar as letras que formam a palavra ''Pensar'', de diversas maneiras, por exemplo:
''RASNEP'' (o contrário) ou até mesmo ''EPARNS''.
São mesmo diversas possibilidades, possibilidades essas que poderiam ser facilmente calculadas apenas utilizando os fatoriais.
Veja bem, a palavra ''Pensar'' possui seis letras, logo, para descobrir quantos anagramas poderíamos formar com essas letras, basta fazer o fatorial de 6:
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Logo, a quantidade de anagramas que poderíamos formar com a palavra ''Pensar'' é de 720.

Outro exemplo:

Quantos números podem existir à partir dos algarismos: 1,2,3,4 e 5?

Se queremos saber quantos números podem existir contendo os algarismos 1,2,3,4 e 5, basta fazer o fatorial de 5, pois estamos calculando números que tenham até 5 unidades:

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Ou seja, existem 120 números contendo esses algarismos. 

Pois bem! Você viu alguns exemplos de onde podemos utilizar os fatoriais em análise combinatória (e nas aulas posteriores irá ver mais exemplos) mas e se eu lhe pedir para que calcule o fatorial de 500?
Já pensou? Ter que desenvolver o número 500 até o 1? 500! = 500.499.498.497, e etc? Não sairíamos daqui tão cedo, não? Mas não se preocupe! Há um jeito de simplificar os fatoriais:

Simplificando fatoriais:
Você já sabe que pode calcular o fatorial de um número apenas multiplicando ele mesmo por todos os seus antecessores até o 1, como por exemplo, o fatorial de oito: 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1
Mas e se o número for enorme, como no exemplo do número 500? Desenvolver esse número não parece ser um trabalho muito fácil e realmente não é. Por isso, você pode simplificar esses números, basta parar com o processo dos fatoriais até onde você necessitar, por exemplo o fatorial de 8:
8! = 8.7.6.5.4.3.2.1
Você também pode escrevê-lo da seguinte forma:  8! = 8.7.6.5!
Mas por que eu parei no cinco? Ora, eu não parei no número cinco, eu parei no fatorial de cinco, o que é bem diferente, pois 5 vale 5, mas 5! vale (5.4.3.2.1). Então eu desenvolvi o fatorial de 8 até onde eu quis, no caso, até o 6, e chegando no 5 eu ''tranquei'' o desenvolvimento e parei no fatorial de 5, que é o mesmo que escrever 5.4.3.2.1
Perceba o que foi feito, escrever 8! = 8.7.6.5! é o mesmo que escrever: 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1, pois dentro do fatorial de 5, os números (5,4,3,2 e 1) estão inclusos, logo, eu não precisei desenvolver o número todo, bastou eu parar onde eu tive vontade. 
Mas tenha em mente que não houve um motivo específico para que eu parasse de desenvolver o fatorial de 8 no 5, eu poderia ter parado no seis também: 8! = 8.7.6! pois dentro do fatorial de 6, eu estou incluindo (6,5,4,3,2 e 1) onde novamente, eu não precisei escrever tudo até o 1. Poderia também, ter parado no quatro, por que não? 8! = 8.7.6.5.4!
Na verdade, você pode ''trancar'' o fatorial até onde tiver necessidade.
Mais um exemplo? O fatorial de 500 então:

Vou desenvolver até 495, veja:

500! = 500.499.498.497.496.495! 
Onde no fatorial de 495, eu estou incluindo todos os números menores que ele (incluindo ele mesmo), até o 1.

Outros exemplos:

100! = 100.99.98!
692! = 692.691.690.689.688!
20! = 20.19.18.17.16!
9! = 9.8!

Outro caso que aparecerá muito nas aulas seguintes é a simplificação de uma divisão entre fatoriais, por exemplo:



Você poderia fazer essa conta da seguinte maneira:



Ou seja, desenvolvendo todos os fatoriais.
Agora é só eliminarmos os termos semelhantes, no caso, 4, 3, 2 e 1:

O que nos faz ficar com apenas 6x5, que claro, é igual à 30.
Logo:

 

Mas, e se novamente nos depararmos com números maiores? Exemplo:



Desenvolvendo tudo teríamos:



Eliminando todos os termos semelhantes:

Então nos resta:

20x19x18x17x16x15x14x13

Que dará: 5.079.110.400

Mas seria muito menos trabalhoso simplificarmos desta forma:

Note que eu parei no fatorial de 12, para que o numerador ficasse semelhante ao denominador, então agora basta eliminar os termos semelhantes:

Onde chegaremos novamente à (20x19x18x17x16x15x14x13) só que de uma forma mais rápida e simples, sem precisar desenvolver tudo, basta parar até que a fração fique igualada.

Lembre-se: O fatorial maior que deve ser desenvolvido até que se iguale ao fatorial menor, sempre!

Por exemplo:

Vamos desenvolver o maior fatorial, ou seja, o fatorial de 44:

Eliminando os termos semelhantes:

44.43.42.41.39 = 5.082.517.440

Logo:

O que você pode encontrar também muitas vezes (principalmente nos estudos de combinações e arranjos) é algo como isto:

O jeito de resolver algo como isto é desenvolvendo o maior fatorial até que ele se igualar à qualquer um dos outros dois menores, de preferência, até se igualar ao maior dentre eles, assim:

Eliminando os termos semelhantes, iremos ter:

Fazendo a operação no numerador, teremos: 6.5.4 = 120

Agora faça o fatorial do denominador, no caso, 2. E você já deve saber que o fatorial de 2 é igual à ele mesmo, logo:

Então:

Outro exemplo?

                   

Por fim, este é o conceito de fatorial, e de agora em diante você irá utilizá-lo com bastante frequência, nas aulas que seguem.

Se restou alguma dúvida sobre o conteúdo desta aula, escreva nos comentários ou re-leia a aula com mais atenção! Também pratique o conceito de fatorial nos exercícios encontrados aqui no blog e treine bastante!