Lei dos Senos

Introdução:
Na aula passada, você aprendeu a calcular os lados de triângulos obtusângulos e acutângulos à partir da lei dos Cossenos, e aprendeu também a relacionar os ângulos referidos com seus lados.
Porém, nesta aula ainda iremos abordar o assunto que relaciona os triângulos e seus lados com seus ângulos, utilizando a lei dos Senos.

Lei dos Senos:
Na trigonometria, a lei dos Senos é baseada nas relações sobre proporções na medida de triângulos.
A fórmula da lei dos Senos relaciona diretamente os lados de um triângulo, opostos à seus ângulos, assim como visto na aula anterior.
Segue a fórmula da lei dos senos:



Aqui dizemos que a relação entre um lado do triângulo e seu ângulo oposto é constante.
A razão entre o lado a e o seno de seu ângulo Â, é necessariamente igual às razões entre os outros dois lados do triângulo (b e c) e seus ângulos opostos.
Temos então aqui três igualdades, mas nós quase sempre nos utilizamos de apenas duas ou uma! Tudo depende do ângulo ou do lado a ser calculado.
Há uma explicação muito extensa sobre a formação da fórmula da lei dos Senos, mas o entendimento desta explicação requer que antes você saiba de mais algumas coisas que aqui serão ensinadas, por isto, teremos uma aula à parte, só para demonstrarmos o desenvolvimento da lei dos Senos. Porém, por enquanto apenas saiba que está é nossa fórmula.

Aplicando a Lei dos Senos:
Se você compreendeu a lei dos Cossenos e sabe como relacionar os lados dos triângulos com seus ângulos refentes, aplicar a lei dos senos não será um trabalho muito difícil.
Vamos à um exemplo?

Encontre o valor de x no triângulo abaixo:

Temos aqui algumas coisinhas para analisar:

1º Esse triângulo trata-se de um triângulo obtusângulo por possuir um ângulo obtuso de 120 graus;

2º De acordo com a relação entre seus lados e seus ângulos (visto na aula anterior), o lado ''a'' é corresponde à 100 m, pois está oposto ao ângulo A e o lado ''b'' corresponde à x, o lado que queremos encontrar, por este estar oposto ao ângulo B.

Então com base disso, podemos relacionar os ângulos A e B (que são conhecidos) na lei dos Senos:

Substituindo os valores na fórmula, teremos:

Onde 100 equivale ao lado a, que está dividindo o seno de seu ângulo referente que corresponde à 45 graus, e x equivale ao lado b que divide o seno de seu ângulo referente de 120 graus.

Verificando na tabela dos arcos notáveis, o seno de 45 graus corresponde à raiz de 2 sobre 2, mas não encontrarmos nem nesta tabela, nem na tabela trigonométrica o seno de 120° e isso porque não temos ângulos obtusos escritos nas nossas tabelas trigonométricas, pois estas apenas se limitam aos ângulos agudos.

O que devemos fazer é aplicar a fórmula suplementar dos ângulos obtusos, que diz que: Sen(ângulo) = (180° - ângulo)

Se você substituir na fórmula, o ângulo obtuso dado nesse problema que é referente à 120 graus, teremos:

Sen(120°) = (180° - 120°), ou seja, o resultado da diferença entre 180 graus e o ângulo referido, é o suplemento deste, logo, o suplemento de 120° é: 60 graus, pois 180° - 120° = 60°

Então teremos agora: Seno de 60 graus, que na tabela dos arcos notáveis é igual à raiz de 3 sobre 2, logo, o que temos até aqui é:

Aqui nos deparamos com uma divisão de outra divisão! Para acabar com este problema, multiplique 100 por raiz de dois sobre dois, e x por raiz de 3 sobre dois:

Logo:

Multiplique cruzado e obtenha:

Agora isole o x passando a raiz quadrada de três para o outro lado do sinal.

Se a raiz estava multiplicando ela irá passar pro outro lado dividindo: 

Radicalizando teremos:

Então o lado x desse triângulo é igual à 50√6 que dará aproximadamente 122,5 m.

Outro exemplo?

No triângulo obtusângulo abaixo, determine o lado x, sabendo que um dos ângulos agudos mede 45° e o ângulo obtuso tem 105°:

Aqui está nosso triângulo obtusângulo, onde eu adotei para seus ângulos A B e C, para a melhor visualização de seus lados.

Para aplicarmos os números dados na nossa fórmula da lei dos senos, devemos antes encontrar os lados desse triângulo que se relacionam à seus ângulos opostos.

Referente ao ângulo A, podemos dizer que X é o lado referente à este ângulo, por estar oposto à ele.

Já para o ângulo B, podemos dizer que 100 é o seu lado referente.

Como não sabemos o lado do ângulo C, não podemos utilizar então sua relação para calcularmos o lado x, mesmo sabendo seu ângulo, logo, já que temos o lado do ângulo B, podemos utilizar as relações entre o lado a e seu ângulo A, e o lado B e seu ângulo B.

Mas há um pequeno problema quanto o ângulo B: Este é justamente nosso lado conhecido que não sabemos quanto mede seu ângulo.

Porém, temos como descobrir o terceiro ângulo deste triângulo! 

Basta lembrar que a soma dos três ângulos de qualquer triângulo deverá ser 180 graus.

Então a soma entre o ângulo que não sabemos (B), 105 e 45 devem dar 180°? Como podemos escrever isso numa equação? Assim:

B + 105 + 45 = 180

Se isolarmos B na equação teremos:

B = 180 - 105 - 45

B = 30°

Pronto! Nosso terceiro ângulo mede 30°, basta conferir e somar 30 graus com 45 e 105 graus para ver se dará 180°! 30 + 45 + 105 = 180 Confere!

Então já temos nosso ângulo B:

Agora que sabemos quanto mede o ângulo B, podemos aplicar nossos valores na lei dos Senos para descobrirmos o lado x deste triângulo:

Se o lado b é igual à 100 e seu ângulo B é igual à 30°, e o ângulo A que mede 45° tem como lado referente o lado que queremos encontrar, teremos na fórmula:

 

Onde x é o lado que iremos encontrar, sobre o seno de seu ângulo referido, no caso, 45 graus, que é igual ao lado b que é igual à 100, divido pelo seno de seu ângulo referido, o ângulo B que mede 30 graus.

Verifique na tabela dos arcos notáveis qual é o seno de 45°e veja que é equivalente à raiz de 2 sobre 2.

Já o seno de 30° é igual à meio, logo:

Resolva essa divisão multiplicando o x pela raiz de 2 sobre dois e 100 por meio, assim:

Então tenha:

Agora multiplique cruzado e fique com:

Isole x passando a raiz de dois para o outro lado do sinal, se a raiz de dois estava multiplicando, ela passa dividindo:

Radicalizando:

Logo, nosso terceiro lado mede 50√2 que dá aproximadamente 70,72.

Circunferência Circunscrita no triângulo:

Vamos para um exemplo de aplicação da lei dos Senos, para encontrarmos alguma informação sobre uma circunferência circunscrita num triângulo.

Lembrando que: A Lei dos Senos nos relaciona o ângulo oposto ao seu lado, sempre. Tendo a informação de ambos, já basta para aplicarmos essa lei.

Exemplo:

Determine o raio da circunferência circunscrita num triângulo com vértices ABC, 

onde o lado AB = 4√2 e o ângulo formado pelos lados AC mede 45 graus, e é oposto ao lado AB.

Pois bem, se temos uma circunferência circunscrita no triângulo, isso significa que o triângulo está dentro da circunferência.

Os pontos AB formam um dos lados do triângulo, ou seja, são duas retas que formam um segmento, que dividido pelo seno do seu ângulo oposto, será igual ao raio da circunferência. Mas, se temos duas retas, não temos um raio, temos um diâmetro. Como criar uma equação com base disso?

Simples, iremos utilizar a Lei dos Senos que irá relacionar o lado informado com seu ângulo oposto, e iremos igualar essa relação à 2.r (ou seja, o diâmetro).

Aqui está a circunferência e o triângulo inscrito na mesma:

Então se o ângulo C é oposto ao lado informado, 4 raiz de 2, então esse é nosso lado c: 4 raiz de 2.

Logo, aplicando os valores na lei dos Senos, teremos isto:

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

Verifique na tabela dos arcos notáveis que o seno de 45° é igual à raiz de 2 sobre 2:

Se temos uma divisão entre frações, é só fazer uma multiplicação, conservando o primeiro e invertendo o segundo, ou seja, o numerador passa a ser denominador e vice-versa:

 

Multiplique tudo e obtenha:

Se quer treinar radicalização, apenas radicalize conforme abaixo, do contrário, corte raiz de dois com raiz de dois e fique com 8:

Radicalizando:

Então por fim, ficamos com:

8 = 2r

Isole r na equação: 8/2 = r

r = 4

Logo, o raio dessa circunferência é 4 e o diâmetro é 8.

Quando aplicar a lei dos Senos e dos Cossenos?

Tudo depende da questão de necessidade. 

Quando temos mais informações sobre os lados do triângulo, é mais eficaz usarmos a lei dos Cossenos, por relacionar os lados com apenas um ângulo do triângulo, já no caso de termos mais informações sobre os ângulos do triângulo, é mais prudente utilizarmos a lei dos Senos por relacionar a razão dos lados do triângulo com seus ângulos.

Veja, na lei dos Cossenos, basta conhecermos um lado ou mais, para encontrarmos os outros lados do triângulo ou o ângulo do mesmo.

Na lei dos Senos, nós precisamos conhecer um ou dois ângulos e no mínimo apenas um lado do triângulo, para encontrarmos o outro ângulo e os outros lados do triângulo.

Em resumo, aplicar as leis de Seno ou Cosseno depende muito do que você necessita encontrar e do que você já tem como informação.