Circunferências e Círculos

Sumário da aula:

• O que é uma circunferência?
Antes de darmos início a nossa aula, e antes de aprender a calcular medidas de uma circunferência, é sempre bom sabermos do que estamos falando, e o que estamos falando.

• O número Pi;
Descubra a importância desta constante que foi introduzida à diversas fórmulas matemáticas para a resolução de cálculos envolvendo cirunferências.

• A diferença entre círculos e circunferência;
Descubra qual a diferença entre ambos.

• Calculando o comprimento de uma circunferência;
Calcular o comprimento de uma circunferência pode ser muito importante para diversas situações em nossas vidas cotidianas, e não apenas para estudos.

• Encontrando o Raio e o Diâmetro da circunferência;
Conheça duas fórmulas para encontrar o raio ou o diâmetro de circunferências.

• Arco de uma Circunferência e ângulo central;
Calcular o comprimento de uma circunferência completa você já sabe que é possível! Mas e calcular o comprimento de apenas uma parte dela?

• Calculando a área de um círculo;
Aprenda a calcular a área do círculo de uma circunferência.

• Setor circular;
Aprenda a calcular a área de uma parte da circunferência, chamada de setor, apenas utilizando uma fórmula simples.

• Polígono inscrito e circunscrito;
Aprenda a calcular a área e o comprimento de uma circunferência inscrita ou circunscrita em polígonos simples, como quadrados e retângulos.

• Coroa circular;
E se você pudesse calcular a área de um círculo dentro de outro círculo?
 

O que é uma circunferência?

Na geometria, a circunferência é um local geométrico, onde todos seus pontos têm a
mesma distância de um ponto fixo central:
Veja este círculo pontilhado:


Todos os pontos desta circunferência estão a mesma distância do ponto fixo central.

Se traçarmos uma linha reta do ponto central até algum ponto qualquer da circunferência,
teremos uma medida denominada raio:


Logo, podemos dizer que o raio da circunferência é a medida entre um ponto qualquer da mesma até seu centro.


Mas e se traçarmos uma outra linha reta nesta circunferência, porém agora do lado oposto da primeira reta, a partir do ponto central até o extremo esquerdo desta circunferência o que iremos obter? Isso mesmo! Outro raio!


Ora, agora temos dois raios, e essa medida na geometria tem o nome de Diâmetro, que nada mais é do que o raio da circunferência duas vezes (Diâmetro = 2 vezes o raio, ou D = 2.r), o que pode neste caso, dividir este círculo em duas partes:


Uma outra maneira de apresentarmos o diâmetro é dizendo que ele é a medida entre dois raios, ou que é uma ligação entre dois pontos qualquer da circunferência, que passam pelo centro da mesma.


A partir destas medidas de raio e diâmetro, podemos calcular a área e o comprimento de circunferências, porém, para isto ainda precisamos de mais uma medida, veja abaixo:
 

O número Pi:

O número pi que é escrito através desta letrinha grega: (π) é um dos ponto-chave para calcularmos qualquer área ou comprimento de circunferências.
O pi na verdade equivale à um número extensivo de várias casas decimais como: 3,14159
26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164
06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582
23172 (...) e por aí vai...
Mas na maioria das vezes, utilizamos o pi em cálculos apenas acessando suas três primeiras casas decimais: 3,14
*Lembre-se muito bem deste número, pois iremos utilizá-lo com frequência nas aulas
posteriores!!

O motivo pelo qual o pi é utilizado em fórmulas para se calcular medidas de circunferências é dado porque estudiosos da antiguidade perceberam que toda vez que se dividia o comprimento de um círculo pelo seu diâmetro, o resultado era sempre aproximado à 3,14.

Logo:  
(Pi é igual o comprimento pelo diâmetro da circunferência.)

E já que o pi é uma constante, ele nos auxilia muito na solução de problemas envolvendo cálculos com circunferências! 

Círculo e Circunferência:

Há quem se confunda com ambos, e podem pensar que um é igual ao outro, mas apesar de tratarem quase sempre do mesmo assunto e terem formatos esféricos perfeitos, um círculo pode ser uma circunferência, mas uma circunferência não é um círculo. Por quê?
Veja esta imagem para entender melhor:



Se você notar na imagem de ilustração, a circunferência é a parte pontilhada, ou seja, o contorno do círculo, onde todos os seus pontos são equidistantes de um ponto fixo central, como já explicado no início desta aula. Já a imagem colorida em rosa representa o círculo desta circunferência, ou seja, a parte que envolve toda a circunferência é a área interna da mesma.

Calcular o comprimento da circunferência:

O comprimento da circunferência (ou perímetro) é a distância da mesma, ou simplesmente a medida de uma volta completa em torno de si mesma.
Imagine uma corda de pular... Imagine que com ela você faça um formato circular, fechando-a em seus extremos:



Digamos que podemos calcular o comprimento desta corda quando ela está esticada, basta medirmos com alguma trena ou fita métrica de um ponto ao outro que facilmente saberemos o comprimento da corda, mas e se esta corda estiver formando um círculo, como podemos calcular seu comprimento sem precisar necessariamente esticá-la? Para isto, utilizamos a seguinte fórmula:

C = 2.π.r
(Lê-se: ''C igual à duas vezes pi r'', ou ''C igual à dois pi r'')

Onde C é o comprimento do círculo que queremos calcular (pode-se também encontrar o P no lugar de C, que significa perímetro, mas ambos tem o mesmo significado) π(pi) que vale 3,14 e o r como já sabe é o raio.

Mas se você for notar nossa fórmula, onde diz ''2'' e ''r'' podemos logo pensar que ambos poderiam ser substituídos por ''D'' (diâmetro) já que o diâmetro é igual à duas vezes o raio.
Simplificando a fórmula poderíamos ter também: C = π.D
Não importa qual das duas fórmulas você utilize para resolver os cálculos de comprimento de circunferências (contanto que lembre que R é o raio e na fórmula deve ser multiplicado duas vezes, e D o diâmetro), o resultado será o mesmo ao utilizar qualquer uma das fórmulas, basta ter conhecimento sobre ambas para poder usá-las em situações que lhe convém.

Vamos aplicar a fórmula num exemplo?

Calcule o comprimento de uma circunferência com raio de 8km:

Através da fórmula do comprimento:

C = 2.π.r
Basta substituir os valores dados no enunciado do problema, e realizar as operações:

C= 2. 3,14. 8
C= 6,28. 8
C= 50,24km

Mais um exemplo para fixar a ideia:

Calcule o perímetro de um círculo cujo diâmetro é igual à 14cm:

Quando vemos a palavra diâmetro, logo podemos lembrar que o raio da circunferência sempre será a metade deste diâmetro, no caso aqui 14:
14/2=7
R = 7cm

Aplicando o número dado na fórmula temos que:

P = 2.π.r
P= 2. 3,14. 7
P= 6,28. 7
P= 43,96cm

Ou neste caso, seria mais conveniente utilizarmos a segunda fórmula do comprimento, já que o diâmetro da circunferência nos foi fornecido: 
C = π.D

Veja:
C = 3,14. 14
C = 43,96 cm. Ou seja, o mesmo resultado que o anterior, só que com a utilização da segunda fórmula do comprimento.

Encontrando o Raio ou o Diâmetro da 

circunferência F1:

Normalmente nos enunciados de problemas envolvendo circunferências, o mesmo pode lhe dar os valores do raio ou do diâmetro da circunferência, mas pode acabar acontecendo que apenas a área ou o comprimento da mesma são dados no problema, e você deve justamente encontrar o raio ou o diâmetro da circunferência.
Para isso, temos duas fórmulas para se encontrar o raio de uma circunferência! 
Uma delas te auxilia a encontrar o raio, quando o comprimento é dado no problema.
A fórmula é a seguinte:


(Lê-se: Raio é igual ao comprimento dividido por 2 pi)

Onde ''R'' é o valor do raio que devemos encontrar, ''C'' é o comprimento dado no problema, que é divido pelo produto de pi por dois.
Vamos aplicar a fórmula num exemplo?

Uma pista de gelo circular possui 250m de comprimento. Qual é o raio da pista?



Através de nossa fórmula: 


Temos que C = 250m e pi vale 3,14
Logo: R =  250/ 6,28
250 divido por 6,28 é igual à aproximadamente 39,81m
Portanto o raio da pista cujo comprimento vale 250m é de aproximadamente 39,81m (Pode conferir aplicando o raio obtido através desta conta, na fórmula do comprimento de circunferências, que o resultado será 250 e uns quebrados).
Caso você queira saber o diâmetro desta circunferência, basta multiplicar o raio (≅39,81m) por dois, que o diâmetro será encontrado: D= 39,81. 2 -> D= 79,62m.

Arco de uma circunferência e ângulo central:

Mas o que haveria de ser um arco e um ângulo central?
Preste atenção nestas imagens:




O arco não é nada mais nada menos que a medida entre dois pontos de uma curva. Ou seja, neste caso, o arco é o comprimento da parte de uma circunferência, como por exemplo, uma fatia de pizza, veja:
 


Note na imagem acima, que a parte em azul é representada pelo arco da circunferência, que na verdade é uma parte da mesma.
Neste exemplo da pizza, este pedaço, além do arco, forma um ângulo central, veja:



O ângulo por vezes é chamado de alfa e é representado por esta letra grega: (α)
Com as definições do ângulo, podemos então calcular o comprimento de um arco de uma circunferência qualquer. Veja através da seguinte fórmula:

(Lê-se: ''360 graus de alfa 2pi r'')

Onde ''α'' é o ângulo, ''π'' vale 3,14 e ''r'' é o raio. Já o 360 graus é dado porque um círculo faz uma volta completa em torno dele mesmo de exatamente 360 graus independente de seu tamanho.

Vamos à um exemplo para a aplicação desta fórmula:

Calcule o arco de uma circunferência cujo raio é igual à 5m, onde α= 60°:



Através de nossa fórmula:


Vamos nos atentar primeiramente na primeira parte da nossa fórmula, onde devemos substituir os valores da fórmula pelos valores obtidos no enunciado do problema:

α= 60°   π= 3,14     r = 5m

Logo teremos:

Arco= 60. 6,28. 5

Onde obteremos o resultado de:
Arco= 1884

E dividindo este número por 360 teremos nosso resultado final de: Arco≅ 5,234m.
Onde ''≅" significa aproximadamente, pois nosso resultado deu na verdade uma dízima periódica.

Calculando a área do círculo:

A área do círculo é o total de espaço que o mesmo ocupa internamente numa circunferência, e a fórmula para calcular a área de um círculo é:

A= π.r²
(Lê-se: '' A igual à pi r ao quadrado'')

Onde ''A'' é a área que queremos calcular, π vale 3,14 e ''R'' é o raio da circunferência.
Mas se for dado apenas o diâmetro(D) do círculo, basta dividir o diâmetro por dois, pois: D = 2.r (Diâmetro é igual 2 vezes o raio). 
Por exemplo, se o Diâmetro de um círculo for igual à 10cm o seu raio será igual a 5cm, se o diâmetro for igual à 22m o raio será igual à 11m, e assim por diante... Exemplos:

Calcule a área de um círculo com raio de 2cm:



Fórmula:
A = π.r²
A= 3,14.2²
A= 3,14.4
A = 12,56 cm²


Veja só mais outro exemplo:

Calcule a área de um círculo com raio de 6m:


Fórmula: A= π.r²
A = 3,14.6²
A= 3,14.36
A= 113,09 m²

O resultado foi dado em metros quadrados (m²), isto porque quando nos tratamos de área o resultado sempre será elevado ao quadrado. Já o fato de ser em metros e não centímetros(cm) por exemplo, foi porque o raio foi dado em metros, logo, o resultado também será dado em metros, já que não foi pedido uma conversão.

Outro exemplo:

Calcule a área de um círculo com diâmetro de 9cm:



Lembrando que diâmetro é igual a 2 vezes o raio, logo, o raio é a metade do diâmetro:
9/2 = 4.5
r= 4.5cm

Aplicando os números na fórmula da área:

A= π.r²
A= 3,14. 4.5²
A= 3,14. 20,25
A= 63,585  cm²

Encontrando o Raio ou o Diâmetro da 

circunferência F2:

Lembra-se que anteriormente nesta aula aprendemos a encontrar o raio ou o diâmetro de uma circunferência quando o comprimento da mesma é nos fornecido? E que para isto utilizamos uma pequena fórmula? E lembra que nesse mesmo  assunto, estava dizendo que temos duas fórmulas para calcular o raio e ou o diâmetro de uma circunferência? A primeira nós já vimos, mas e a segunda fórmula?
Nossa segunda fórmula nos possibilita encontrar o raio do círculo, caso você já saiba a área do mesmo, veja a fórmula:
R= √(A/π)
(Lê-se: Raio igual à raiz quadrada da área dividida por pi)
Aqui o que devemos fazer parece meio complicado mas é simples: Basta primeiramente dividir a área do círculo por pi(3,14) e com o resultado obtido extrair sua raiz quadrada, este número será o raio da sua circunferência. Exemplo:

Sabendo que a área de um terreno circular mede 10m², qual é o raio deste terreno?


Através da fórmula: 
R= √(A/π)
Sabemos que A= 10m² e Pi= 3,14
Então basta fazer: 10 dividido por 3,14, que dará aproximadamente: 3,18m
Ficará assim: R= √3,18m
A raiz quadrada de 3,18 é aproximadamente igual à 1,78m, logo o raio deste terreno circular cuja área mede 10m² é igual à 1,78m aproximadamente. E se resta alguma dúvida quanto à aplicação desta fórmula, basta utilizar a fórmula para calcular a área do círculo utilizando este valor do raio, que você terá o valor de 9,948776 que é aproximadamente 10m² de área.
Para saber o diâmetro desta área, basta multiplicar o valor do raio obtido por dois:
 D= 2.r -> D= 2. 1,78 -> D= 3,56m

Setor de uma circunferência:

Vamos voltar ao exemplo da pizza e imaginar que temos aqui uma bela pizza de queijo! Se você cortar uma fatia desta pizza, poderá notar que teremos a pizza ainda como um todo (no caso o círculo) e a fatia cortada representaria este espaço na pizza:


Notando a imagem acima, você poderá concluir que a pizza é o círculo total e a fatia cortada, um pedaço deste círculo. 
Todo este pedaço pintado em laranja na imagem de ilustração pode ser representado como a fatia da pizza, ou também como o setor dela. Logo, um setor é um determinado pedaço de um círculo inteiro.
Este setor é originado pelo centro da circunferência e por mais dois raios diagonais do mesmo, veja:
 


Este setor faz também um ângulo central, veja aqui:
 


A fórmula para calcular a área de um setor circular é:

(Lê-se: ''360 graus de alfa pi r ao quadrado.'')

Sim, esta fórmula é exatamente como a fórmula para calcular o arco da circunferência, só que aqui estamos elevando o raio ao quadrado.
Então vamos para um exemplo:

Calcule a área de um setor circular cujo raio é igual à 2cm, onde α= 45°:


Nossa fórmula:


Substituindo os valores na fórmula:
α= 45°     π= 3,14     r² = 2²cm
Logo temos:

S= 45. 3,14. 4

Que nos dará o resultado:
S= 565,2

Dividindo este resultado por 360 temos que:
S=  1,57cm²

Logo, o setor deste círculo de raio de 2cm e ângulo igual à 45° graus, mede 1,57 centímetros quadrados.

Círculo inscrito num polígono:

O círculo inscrito é uma circunferência que está inscrita, ou seja, dentro de uma outra forma geométrica, como um quadrado por exemplo:


(Circulo inscrito num quadrado)

Um círculo pode estar inscrito em qualquer forma geométrica existente, mas nesta aula iremos aprender a calcular a área de uma circunferência inscrita em quadrados, por ser um polígono simples de calcular.
(Para aprender a calcular outros polígonos regulares em circunferências, acompanhe as aulas posteriores!)

Calcular a área de uma circunferência inscrita num quadrado é simples: Basta lembrar que: O diâmetro da circunferência é igual ao lado do quadrado.
Lembrando dessa regra, podemos encontrar facilmente o diâmetro da circunferência inscrita, e com o auxílio de nossa antiga fórmula para calcular áreas de círculos (lembra?) podemos resolver os problemas.
Veja um exemplo:

Calcule a área de uma circunferência inscrita num quadrado, cujo lado mede 12cm:


Lembrando que o diâmetro do círculo é igual ao lado do quadrado, logo sabemos que D(diâmetro) é igual à 12 cm.
Na nossa fórmula para calcular áreas de círculos (A = π.r²), ela pede R, ou seja, o raio da circunferência! Mas você já deve saber que o raio de uma circunferência é a metade do diâmetro do mesmo.
Então, neste exemplo, D = 12cm, logo: R = 6cm, pois 12 divido por dois (metade dele mesmo) dá 6.                                              
Agora que sabemos o raio da circunferência, basta aplicar os valores na fórmula:
A = π.r²
A = 3,14. 6²
A = 3,14. 36
A = 113,04 cm²

Ou seja, a área desta circunferência inscrita num quadrado de lado igual à 12 cm é 113,04 centímetros quadrados.

No caso de querer medir o comprimento de uma circunferência inscrita num quadrado, basta seguir o mesmo conceito, a única alteração na hora de calcular é a fórmula! Agora usaremos a fórmula para se calcular o comprimento de uma circunferência, não a área da mesma. Exemplo?

Calcule o comprimento de uma circunferência inscrita num quadrado de lado que mede 5cm:


D = 5cm
R =  D/2 Logo: 5/2 = 2,5

Fórmula do comprimento: C = 2.π.r
C = 2. 3,14. 2,5
C= 6,28 . 2,5
C= 15,7 cm

Circunferência Circunscrita num polígono:

Uma circunferência circunscrita, é o contrário de uma circunferência inscrita, pois desta vez uma forma geométrica qualquer que está dentro do círculo:

(Quadrado inscrito numa circunferência)

*Novamente lembrando que aqui iremos aprender a calcular polígonos simples inscritos em circunferências, como quadrados e retângulos, portanto a regra à seguir se aplica à estes casos:

Preste  muita atenção nesta nova regra:  O diâmetro da circunferência será igual à diagonal do quadrado ou retângulo.

Para se calcular a diagonal de um quadrado ou retângulo qualquer, você somente precisa aplicar a regra do Teorema de Pitágoras, onde: D² =  L² +L² (Lê-se: A Diagonal ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos lados) Exemplo:

Quanto mede o comprimento desta circunferência circunscrita num retângulo de lados iguais à 6cm e 8cm?


Para aplicarmos nossa fórmula do comprimento, primeiramente precisamos encontrar o valor do raio do círculo.
Lembra-se de nossa regra? "O diâmetro do círculo será igual à diagonal do quadrado ou retângulo."
Sabemos que o diâmetro de uma circunferência é equivalente ao raio da mesma multiplicado duas vezes, ou seja, o raio de um círculo é igual ao diâmetro dividido por dois! E já que a diagonal do retângulo é igual ao diâmetro da circunferência, podemos encontrar o valor de seu comprimento. Acompanhe:
Encontrando o valor da diagonal do retângulo aplicando o Teorema de Pitágoras:
D² = L²+L²
D² seria a diagonal elevada ao quadrado, que é igual à soma dos lados elevados ao quadrado da nossa figura. Se um lado do retângulo mede 6cm e o outro lado mede 8cm, temos que:
D² = 6² + 8²   Seis ao quadrado é igual à 6.6 = 36, e oito ao quadrado é: 8.8 = 64, logo:
D² = 36 + 64 que costuma dar 100!
Mas estamos dizendo que a diagonal ao quadrado é igual à 100, porém queremos saber a diagonal exata, não elevada à dois. Para isso, basta isolar ''D'' num lado da equação: (D²=100), passando o ''²'' para o outro lado do sinal, tornando 100 uma raiz quadrada, logo temos que:
D² = 100 é igual à D= √100
A raiz quadrada de 100 é 10, portanto a diagonal deste retângulo é igual à 10cm.
Lembrando que o diâmetro de uma circunferência é igual à diagonal de um quadrado ou retângulo, concluímos que: Diâmetro = 10cm
O raio da circunferência será a metade de seu diâmetro, portanto: R=D/2 -> R=10/2=5
Raio = 5cm
Aplicando os nossos valores à fórmula do comprimento:
C = 2.π.r
C= 2. 3,14. 5
C= 6,28. 5
C= 31,4cm

O comprimento de uma circunferência circunscrita num retângulo de lados iguais à 6cm e 8cm é 31,4 cm.

Mais outro exemplo, mas agora com uma raiz não exata. Novamente iremos aprender a calcular medidas de circunferências envolvendo quadrados:

Calcule o comprimento de uma circunferência circunscrita num quadrado cujo lado mede 2cm:


Calculando a diagonal do quadrado:

D² = L² + L²
D² = 2² + 2²
D² = 4+4
D= √8
Simplificando a raiz quadrada de 8:


Temos que:
√2² . √2 = 2√2 que pode ser também aproximadamente: 2,82
Pronto!! Esta é nossa diagonal que é também nosso diâmetro, mas como precisamos do raio e não do diâmetro na fórmula, basta dividir o diâmetro por dois:
2,82/2= 1,41
Portanto: R = 1,41

Aplicando os valores na fórmula do comprimento de uma circunferência: 
C = 2.π.r
C= 2. 3,14. 1,41
C= 6,28. 1,41
C= 8, 8548 cm

Coroa Circular:

Uma coroa circular, também conhecida como ''anel'' é uma circunferência que divide o mesmo centro com outra circunferência inscrita nela, fazendo assim com que se tornem circunferências concêntricas, ou seja, que possuem o mesmo centro:

(Exemplo de uma coroa circular)

A fórmula para calcular a área de uma coroa circular é esta:
A= π(R²-r²)
(Lê-se: ''Área igual à diferença dos quadrados do raio do círculo interno e do círculo externo, vezes pi)

Onde ''A'' é a área da coroa que queremos encontrar, π vale 3,14; o ''R'' maior vale o raio do círculo interno (o maior) e o ''r'' menor o raio do círculo externo (menor), ambos elevados ao quadrado. Veja como aplicar a fórmula através de um exemplo:

Qual é a área desta coroa circular, cujo raio do círculo externo é igual à 9cm e o raio do círculo interno vale 4cm?


Utilizando a fórmula:
A= π(R²-r²)
Sabemos que π vale 3,14; R= 9cm (raio do círculo maior) e r= 4cm(raio do círculo menor)
Então teremos algo como isto:
A= 3,14(9² - 4²)
O que devemos fazer primeiramente é calcular o que há dentro do parêntese, ou seja, 9² e 4²:
9² = 9.9 = 81  e 4²= 4.4 = 16, logo temos que tirar a diferença(subtrair) de 81 e 16, que dará: 65.
Então temos agora: A= 3,14. 65 Basta multiplicar pi pelo resultado obtido:
A= 204,1 cm²
Então, a área desta coroa circular de raio maior igual à 9cm e raio menor igual à 4cm, é de 204,1 centímetros quadrados.