Geometria Espacial: Os Prismas

Definição do Prisma:
Um prisma é um sólido onde suas bases são paralelas, assim:



Essas são as bases do prisma! Porém, o prisma além de ter bases paralelas e congruentes (ou seja, possuem a mesma medida), ainda possui arestas laterais, que são as distâncias entre cada lado de cada uma de suas bases:




Observe que os segmentos em rosa na figura representam as distâncias entre os lados de cada uma das duas bases deste prisma. Distância essa que possui o nome de aresta lateral.

Existem dois tipos de prismas denominados de acordo com a inclinação de suas arestas laterais: O Prisma Reto e o Prisma Oblíquo.
No prisma reto, percebemos que ele é reto, pois sua aresta lateral forma um ângulo reto de 90 graus com a aresta da base. Ou seja, podemos dizer que um prisma reto é aquele prisma que é perpendicular à aresta da base com sua aresta lateral.
Já no caso do prisma oblíquo a situação é contrária: A aresta lateral do prisma é inclinada, logo,ela não forma um ângulo reto com a aresta da base, e sim um ângulo oblíquo.
Veja a diferença entre ambos:

Note que o prisma da esquerda é um prisma reto, e o prisma da direita que está inclinado, é o prisma oblíquo.
Nós iremos estudar o Prisma reto nesta aula, mas acesse este link(em breve), para estudar o prisma oblíquo.

Outra coisa a se notar num prisma é a sua altura.
A altura de um prisma é definida pela distância entre as suas bases:

Veja que o segmento verde da figura representa a altura (h) do prisma, ou seja, a distância entre suas duas bases.
Pois bem, você já conhece a altura do prisma, o que são arestas laterais e suas bases e os tipos de prismas, mas como você pode perceber, nós temos vários prismas com formas diferentes, alguns deles foram mostrados nos exemplos dessa aula. Sabendo disso, tenha em mente que os prismas podem ser classificados de acordo com sua quantidade de lados! Veja abaixo:

Classificando Prismas:
Os prismas podem ser classificados de acordo com o polígono de sua base! Como assim?
Se temos um paralelepípedo na base do prisma, como no primeiro exemplo:


Nós então temos um prisma quadrangular! Por que? Porque ele é um quadrilátero.
Da mesma forma que podemos ter um prisma triangular, pois o polígono que forma sua base é um triângulo, como nesses exemplos já mostrados na aula:

Na maioria das questões que relacionam Geometria Espacial, normalmente os prismas mais utilizados são os quadrangulares, triangulares, pentagonais (pois possuem o pentágono como base) e hexagonais (possuem hexágonos como base):

É muito importante você saber as classificações dos prismas, pois dependendo do polígono que forma sua base, você deverá usar um cálculo diferente para encontrar as suas medidas de base ou altura.

Um prisma também pode ser considerado regular ou irregular.
Você sabe quando um prisma é regular, quando o polígono que forma sua base é um polígono regular (ou seja, possui lados iguais). Já o prisma irregular, é aquele prisma cujo polígono que forma sua base é irregular (lados diferentes).
Um bom exemplo de prismas regulares, são aqueles prismas que são formados por quadrados (ou seja, prismas quadrangulares regulares) ou por triângulos equiláteros (prismas triangulares regulares). Para o prisma irregular, um bom exemplo a ser citado é um prisma triangular, porém o triângulo de sua base não é equilátero e sim escaleno.

Calculando o Volume dos Prismas:
O cálculo do volume do prisma, ou seja, de sua capacidade, é feita através da seguinte fórmula:



Onde ''V'' é o volume, ''ab'' significa a área da base e ''h'', como já visto, a altura.
Mas como assim a ''área da base''?
Preste atenção nesse prisma quadrangular:

Perceba que temos aqui um quadrilátero como base do prisma, mas onde está esse quadrilátero? Veja ele melhor na próxima imagem:

Note que a parte pintada em amarelo na imagem representa o quadrilátero, ou melhor, a área total do mesmo.
Então, na fórmula do volume, ''ab'' ou área da base, representa a área total do polígono que forma a base do prisma, nesse caso, o quadrilátero.
Mas como calcular a área da base do prisma?
Para isso, você precisa identificar primeiramente qual é o polígono que forma sua base, e se ele é regular ou não, para só depois determinar qual cálculo realizar para determinar a medida de sua área.
Vamos ver isso num exemplo prático?

Um prisma regular quadrangular possui como aresta da base 6 cm e altura igual à 28 cm de comprimento. Determine seu volume.

Primeira coisa a se pensar: Se o prisma é quadrangular, então o polígono que comporta sua base é um quadrilátero, e se ele é um prisma regular, então o quadrilátero é regular, ou seja, um quadrado.
A fórmula para se calcular o volume do prisma é:



E como já dito no enunciado, a altura desse prisma mede 28 cm. Então já temos:




Pois bem, mas como encontrar a área da base (ab)? 
A área de um quadrado é calculado por: l² (ou seja, lado ao quadrado).
Se a aresta da base que é de 6 cm, faz parte de um dos lados do quadrado, e o quadrado possui lados iguais, podemos concluir que l=6, logo:
ab = l²
ab = 6²
ab = 32

Então a área da base desse prisma vale 32 cm², vamos aplicar esse valor à fórmula?




E aí está! O volume desse prisma é de 896 cm³ (lê-se: ''centímetros cúbicos'', a unidade de medida do volume).

Viu só? Nós tivemos que primeiro identificar qual é o polígono e se ele é regular ou não, que forma a base do prisma, para só depois determinar o cálculo de sua área.
Sabendo bem disso, relembre que para calcular a área de um quadrado temos:

l² (O lado ao quadrado).

Para retângulos:

 (Base multiplicada pela altura)

Para triângulos equiláteros:



(O lado ao quadrado, que multiplica a raiz de 3 e divide tudo por 4)

Para triângulos escalenos:




(A raiz quadrada do semiperímetro do triângulo, multiplicando a diferença entre todos os lados do triângulo pelo semiperímetro) 
Veja a aula sobre o Teorema de Herão para entender melhor!


Para hexágonos regulares:


6 (que é a quantidade de lados do hexágono) vezes a fórmula para calcular o triângulo equilátero: l² vezes raiz de 3 sobre 4, pois num hexágono regular temos exatamente seis triângulos equiláteros que o formam.

Agora que você já sabe algumas fórmulas de cálculo de área dos principais polígonos que podem aparecer como base de um prisma, vamos ver outros exemplos mais aprofundados?

Um supermercado utiliza um prisma triangular regular de madeira maciça com 2 cm de aresta de base e 20 cm de altura, para separar as compras.
Qual é o volume desse prisma?

Bom, se temos um prisma triangular que é regular, então as bases desse prisma é um triângulo equilátero, ou seja, todos os lados são iguais.
Pra calcular o volume dos prismas temos a seguinte fórmula:



A altura (h) do prisma a gente já sabe... é de 20 cm.
Para calcular a área da base basta utilizar a fórmula que calcula áreas de triângulos equiláteros, onde l = 2 cm, segundo o enunciado do problema, então:





Fazendo as contas:



Cancelando 4 com 4, sobra-se:



Então a área da base desse prisma é igual à raiz quadrada de três, ou aproximadamente 1,73.
Aplicando o valor na fórmula temos:



Logo, o volume deste prisma triangular é de 34,6 centímetros cúbicos, aproximadamente.


Uma construção com forma de um prisma hexagonal possui uma capacidade de 1163,68 metros cúbicos e a área do hexágono que sustenta a base é de aproximadamente 41,56 metros quadrados. Determine a altura dessa construção.

Vamos lá...
Nesse problema, ele está nos pedindo o contrario... Aqui nós devemos calcular a altura do prisma, e não o seu volume, com base das informações dadas.
Se a área (não aresta da base) mede aproximadamente 41,56 m² e o volume do prisma é igual à 1163,68 m³, então podemos realizar os cálculos inversamente:

Para encontrar a altura usaremos ainda sim a fórmula do volume do prisma, mas considerando a área da base como sendo ''41,56'' e a altura sendo ''x'':






Agora faça as contas:




x = 28 m

Por fim, a altura dessa construção hexagonal tem cerca de 28 metros. 
Vamos conferir?
Iremos então fazer o inverso... Vamos supor que não sabemos qual seria o volume desse prisma hexagonal, e que como de costume só temos as informações sobre a altura (28 m) e a área da base (41,56 m²). Logo, aplicando a fórmula do volume do prisma, teremos que encontrar um valor aproximado ao volume dado no problema: 1163,68 m³, será que vai dar?
Fórmula do volume:



Aplicando os valores na fórmula:




E aí está! Exatamente o volume citado no problema! Tudo confere, logo está tudo correto!


Calculando a área Lateral dos Prismas:
A área lateral do prisma, como já mencionado anteriormente, é a área total das laterais do prisma, as ligações entre os lados das bases.

Para calcular a área lateral de um prisma, você vai necessitar da seguinte fórmula:




Área lateral é igual à base, vezes a altura vezes ''n''.
Mas o que haveria de ser esse ''n'' na fórmula? Esse ''n'' representa o número de retângulos que formam as arestas (faces) dos prismas.
Note esse prisma hexagonal aqui:

Você consegue visualizar suas arestas e quantas são? Não? 
Tente agora:

Certo, agora sim! Você consegue ver bem três faces, duas delas laterais! Mas lembre-se: Temos também as faces de fundo, ou seja, aí há também mais três faces de fundo. Somando todas as faces, teremos por fim, seis faces (ou 6 arestas, 4 delas sendo laterais).
Como é de se esperar, num hexágono então, teremos 6 arestas, logo o ''n'' desse prisma na fórmula seria igual à 6.
Outro exemplo? Observe esse prisma triangular:

Quantas faces ele tem? Três certo?

Duas laterais e uma frontal.
Ou seja, três faces, na fórmula para o prisma triangular teremos n = 3.
E nessa altura do campeonato você já deve ter sacado que para um prisma quadrangular, por exemplo, nessa fórmula temos n = 4, para um prisma pentagonal temos n = 5, e assim por diante...
Vamos ver um exemplo?

Calcule a área lateral de um prisma quadrangular regular com aresta da base de 4 cm e altura igual à 8 cm.

Para calcular a área lateral você sabe que deve utilizar a seguinte fórmula:



b = aresta da base
h = altura
n = quantidade de lados do prisma.

Então substituindo na fórmula:



Logo, a área lateral deste prisma quadrangular mede 128 cm².
Por que isso?
Note que queremos calcular essa área do prisma (aresta lateral):

E como pode ver, essa área é equivalente à um retângulo que mede 4x8. 
Sabemos que para calcular a área de um retângulo basta multiplicar a base pela altura, ou seja: 4*8.

Se estamos querendo saber a área lateral do prisma, devemos considerar as quatro arestas do mesmo, por isso, multiplica-se a área de uma aresta lateral, pela quantidade de arestas que o prisma possui, ou seja, no caso aqui 4. Daí surge a fórmula anteriormente apresentada:



Quer ver outro exemplo?

Calcule a área lateral do prisma pentagonal de aresta da base medindo 6 cm e altura igual à 15 cm:

Aplicando a fórmula fica muito fácil, veja:
Um pentágono tem 5 lados, logo: n = 5



Então a área lateral do prisma mede cerca de 450 cm².
Notou como calcular a área lateral de um prisma não é difícil? Multiplique a aresta da base pela altura do mesmo e depois multiplique pela quantidade de lados que o prisma possui.


Calculando a superfície total dos Prismas:
Quando queremos calcular a superfície total de algum prisma, significa que estamos querendo calcular sua área total.
Diferente de calcular o volume de um prisma, calcular sua superfície total significa calcular o quanto de espaço o mesmo ocupa, sem ter relação com sua capacidade.
Um prisma possui duas bases (como visto no início da aula) e suas arestas laterais.
Logo, para calcular sua superfície total, multiplicamos sua base por dois e somamos com o resulto de sua área lateral.
Óbvio, queremos descobrir a área total que o prisma ocupa, por exemplo, num prisma quadrangular, a superfície total do mesmo seria representada da seguinte forma:

A parte pintada em vermelho na figura representa a área total do prisma: A soma de suas duas bases com o total de sua área lateral. Já na imagem da direita você percebe algo diferente: Agora se trata da capacidade (volume) que esse prisma comporta, o que é bem diferente de tentar calcular sua área de ocupação num espaço.
Então vamos lá... A fórmula para se calcular a superfície total do prisma é:



St => Superfície total;
Ab => Área da base;
Al => Área lateral.

Você aprendeu anteriormente como calcular a área da base de um prisma e sua área lateral, certo? Então não há o que temer! Vamos ver um exemplo prático?

Um prisma hexagonal regular possui altura igual à 12 m e aresta da base medindo 5 m. Calcule sua superfície total e seu volume.

Vamos começar pela sua superfície total. 
Eis a fórmula:



Então vamos encontrar primeiramente a área da base do prisma! Lembra como se faz?
Dependendo do polígono que comporta o prisma, devemos utilizar um cálculo diferente para encontrar sua área da base.
Se temos um prisma hexagonal e regular, podemos utilizar a seguinte fórmula:



A aresta da base do prisma mede 5 m, como bem informado no problema, então substituindo o ''l'' na fórmula por 5, teremos:



Agora realize a conta:



E então esta é a área da base do prisma!
Ab = Aproximadamente 65 m²

E agora precisamos da área lateral! Sabe como fazer? Claro que sabe! Vamos lá!
Fórmula para a área lateral do prisma:



Substituindo os valores na fórmula:

b -> Base = 5 m
h -> Altura = 12 m
n -> Quantidade de lados do prisma! Hexágono = 6 lados

Então ficamos com:



Realize a simples operação de multiplicação:



Logo, área lateral (al) do prisma = 360 m²

Bem, já temos os resultados da área da base do prisma e sua área lateral, basta agora substituir seus valores na fórmula para o cálculo da superfície total do mesmo:



ab = 65
al = 360

Substituindo na fórmula temos:




Realize a conta:



Por fim, a superfície total (ou seja, sua área de ocupação) deste prisma hexagonal mede cerca de 490 m².

O problema também nos pede para calcularmos o volume do prisma!
Lembra-se da fórmula?



Nós já sabemos a área da base e da altura, então basta multiplicar:

V = 65*12 = 780

E aí está o volume desse prisma: 780 m³

Respostas: Superfície lateral: 490 metros quadrados e capacidade do prisma: 780 metros cúbicos.