O que são?
Em matemática, a palavra ''equação'' significa igualdade.
Por exemplo, você concorda que: 1 = 1 ou que 5 + 5 = 10? É uma igualdade?
Sim, não é? Pois bem! Podemos chamar essa expressão de igualdade, pois 5 + 5 certamente dará 10.
Quer ver outros exemplos de igualdade?
6 = 6
8 + 4 = 12
5 - 3 = 2
6 * 4 = 24
10 / 2 = 5
0,4 = 2/5
Por fim, perceba que nós temos uma igualdade na expressão, quando temos um sinal de igual: ''=''.
Essa expressão: 6 > 2 não é uma igualdade, por exemplo! O operador ''>'' (maior) nos indica que o número que vem à sua esquerda é maior que o da direita. Logo, podemos afirmar que 6 é maior que 2, mas não que 6 é igual à 2.
Essa expressão: 4 + 3 = 9, apesar de possuir o sinal de igualdade (=) não é verdadeira, pois 4 + 3 = 7. Logo, a sentença é falsa e não se trata de uma igualdade.
Em resumo, uma igualdade além de afirmar que uma coisa é igual à outra, ainda deve ser verdadeira!
Mas é só isso?
Não!
De um grosso modo, podemos afirmar primeiramente que uma equação é uma igualdade que possui uma incógnita (ou seja, um número desconhecido), que acompanha outros números conhecidos na expressão.
Vejamos a equação abaixo:
3 + x + 4 = 9
Podemos dizer que ''x'' é nossa incógnita da equação e que os números: 3, 4 e 9 são os números conhecidos, ou termos independentes.
Já aqui: 16y + 12 = 156
Podemos dizer que ''y'' é nossa incógnita da equação e que os números: 16, 12 e 156 são os números conhecidos.
Você não precisa necessariamente chamar a incógnita sempre de ''x'' ou ''y'', você pode chamá-la como quiser, e até utilizar outras coisas para representá-la, que não sejam letras. Mas para facilitar os estudos, normalmente os professores e os livros utilizam letras como: ''x'', ''y'', ''z'', e etc... Para representar as incógnitas de uma equação.
As equações também possuem termos! Por exemplo, a nossa equação: 3 + x + 4 = 9 possui 4 termos.
Os termos da equação são os números e incógnitas que aparecem na mesma.
Para sabermos o total de termos da equação, basta somar quantos números (incluindo as incógnitas) aparecem pela equação.
Além dos termos, ainda temos os membros da equação!
Tudo o que está do lado esquerdo do sinal de igual é chamado de primeiro membro, e tudo o que está do lado direito do sinal de igual, é chamado de segundo membro:
3 + x + 4 = 9
Primeiro membro Segundo membro
Ou seja, nessa equação temos no primeiro membro: 3 + x + 4, e no segundo membro da equação temos o 9.
Finalmente, podemos definir uma equação de primeiro grau da seguinte forma:
ax + b = 0
a ≠ 0
Onde ''a'' e ''b'' são os números conhecidos, e ''x'' como bem sabe é a incógnita.
Por fim, ''a'' deve ser diferente de zero, ou seja, o número: ''0x'' não existe!
Equilibrando a equação:
Depois de toda a parte teórica, vamos ver como resolver uma equação na prática!
Imagina que temos aqui uma balança que ''pesa'' as equações.
Vamos imaginar que de um lado da balança temos uma lata de 5 quilos de algo, e do outro lado da balança temos duas latas, uma pesa 2 quilos e a outra pesa 3 quilos.
Concorda que isso é uma igualdade, pois 5 = 2+3? Concorda, certo?
Já que temos uma igualdade, podemos afirmar que dessa forma, a balança ficará equilibrada:
Como já dito, a balança está equilibrada pois temos uma igualdade, ou seja, nos dois lados da balança temos o mesmo peso, já que de um lado temos uma lata com 5 kg, e do outro lado, duas latas com 2 e 3 kg, que consistem em pesar justamente 5 kg juntas.
Pois bem, continuando...
Note que a balança poderá ficar ''desequilibrada'' se retirarmos algum dos pesos:
Aqui por exemplo, retiramos da balança a lata que pesava 3 kg, e a mesma agora está desequilibrada! O lado que ficou com 5 kg está mais pesado, do que o lado que comporta 2 kg.
O mesmo ocorreria se adicionássemos mais peso em algum lado da balança:
Desta vez adicionamos uma lata com 7 kg de peso no lado direito da balança e novamente desequilibramos-a.
Ou seja, de um lado temos 5 quilos, e do outro lado, 12 quilos (2+3+7).
Se desejarmos equilibrar novamente esta balança, podemos adicionar mais 7 quilos do lado esquerdo! Os mesmos 7 quilos que foram adicionados do lado direito:
Veja que agora a balança se mantém equilibrada, pois temos um total de 12 quilos em ambos os lados:
5+7 = 12
7+2+3 = 12
Numa equação, essa ''balança imaginária'' deve estar sempre equilibrada, nunca desigual! Logo, podemos afirmar que tudo o que é feito de um lado na equação, deve ser feito também no outro, assim como fizemos neste exemplo, se adicionamos 7 kg de um lado, devemos também adicionar 7 kg do outro lado para mantermos a igualdade!
Mas como isso se aplica às equações de primeiro grau?
Vamos finalmente resolver uma equação, por exemplo:
x + x + 6 = 22
Perceba que na nossa equação temos as incógnitas e os números conhecidos...
O segredo para resolvermos uma equação é calcularmos primeiramente incógnitas com incógnitas, e depois os números conhecidos com números conhecidos (não importa a ordem!)
Ou seja, ''reduzir'' termos semelhantes! Vamos ver como se faz?
Unido as incógnitas:
x+x... Quanto dá? 2x, certo? (Se fosse por exemplo: x + x + x, teríamos 3x, se fosse 5x + 2x, teríamos 7x, e assim por diante...)
Então temos agora o seguinte:
2x + 6 = 22
Para resolvermos essa equação, vamos eliminar o ''6'' de junto das incógnitas! As incógnitas devem ficar separadas dos números conhecidos nas equações! Ou seja, incógnitas de um lado do sinal, e números conhecidos de outro.
Então se estamos eliminando o 6 no primeiro membro da equação, teremos:
2x + 6 - 6 = 22
Para eliminar um número ou uma incógnita de algum lado da equação, devemos subtrair ele mesmo para que ele se torne zero! Concorda que por exemplo, 4 - 4 = 0? Sim! Pois bem, o modo mais correto de eliminarmos algum número ou alguma incógnita, é subtrair seu valor por ele mesmo para que se torne zero, por isso iremos ter: 2x + 6 - 6 = 22, já que gostaríamos de eliminar o 6 dali.
Mas espere um momento... Se adicionamos um número ''-6'' do lado esquerdo da equação, então desequilibramos a nossa balança imaginária, algo que não pode acontecer! E agora?
Agora iremos utilizar aquele princípio de que tudo o que se faz de um lado da equação, se faz no outro também, logo, podemos adicionar o ''-6'' no segundo membro da equação:
2x + 6 - 6 = 22 - 6
Eliminando o 6 no primeiro membro (6-6 = 0) e subtraindo 6 de 22 no segundo membro, iremos obter o seguinte:
2x = 16
Agora sim temos de um lado da equação a incógnita e do outro lado o número conhecido. Mas perceba que ainda temos o número 2 ao lado da incógnita ''x''.
O número que acompanha a incógnita ''x'' chama-se coeficiente, e também deve ficar separado da incógnita!
Ou seja, nessa equação, o número ''2'' é o coeficiente de x.
Para separá-lo do x, devemos dividir o 2 por ele mesmo, pois 2/2 = 1.
Não podemos fazer o que fizemos com o número 6 anteriormente, pois ele não era o coeficiente, mas nesse caso, o 2 é o coeficiente do x e deve ser eliminado sendo divido por ele mesmo, então:
2/2 x = 16
Lembre-se de fazer isso no outro lado da equação para mantê-la equilibrada:
2/2 x = 16/2
Logo:
1x = 8
Numa equação, quando eliminamos o coeficiente, e ele se torna 1, não precisamos necessariamente escrevê-lo, então:
x = 8
Por fim, a equação nos diz que a incógnita ''x'' é o oito!
Como podemos conferir?
Se ''x'' é igual à 8, o lógico seria colocar o número 8 em todo o local onde aparecer o ''x'' na equação, então:
x + x + 6 = 22
8 + 8 + 6 = 22
22 = 22
A equação é verdadeira! Então podemos afirmar que 8 é a raiz dessa equação!
A raiz da equação é o número que encontramos quando resolvemos as equações, essa raiz é o número que pode substituir a incógnita na equação.
Pois bem, vimos que para resolvermos uma equação precisamos:
- Reduzir os termos semelhantes;
- Separar os números conhecidos das incógnitas, eliminado-as do lado do sinal em que as mesmas se encontram;
- Equilibrar sempre a equação (ou seja, tudo o que fazer de um lado da equação, deve ser feito do outro lado também);
- Se existir um coeficiente da incógnita, eliminá-lo dividindo-o por ele mesmo nos dois lados da equação;
- Encontrar a raiz da equação;
- Verificar a resposta, substituindo a raiz encontrada pelas incógnitas na equação.
Vamos resolver as outras duas equações mostradas de exemplo nessa aula?
A) 3 + x + 4 = 9
B) 16y + 12 = 156
Vamos começar pela equação "A":
3 + x + 4 = 9
Perceba que no primeiro membro da equação, temos o 3 e o 4 como termos semelhantes! Para reduzi-los em um só, vamos efetuar a operação:
3+4 = 7
Então iremos ter:
7 + x = 9
Como não temos um termo semelhante para a incógnita, não podemos fazer nada com ela, mas lembre-se que os números conhecidos devem ficar separados das incógnitas na equação! Então devemos eliminar o 7 do primeiro membro na equação:
7 - 7 + x = 9
Não se esqueça de deixar aquela balança imaginária sempre equilibrada! Vamos adicionar o ''-7'' no segundo membro da equação, pra ficar tudo igual:
7 - 7 + x = 9 - 7
Então eliminando 7-7 = 0 e subtraindo 9-7 = 2, teremos:
x = 2
Aí está! Nossa raiz da equação é o número 2! Vamos conferir?
3 + x + 4 = 9
3 + 2 + 4 = 9
5 + 4 = 9
9 = 9
Equação verdadeira! Tudo certo!
Vamos para a próxima?
Nessa equação não temos termos semelhantes no primeiro membro da equação, o que nos resta fazer é eliminarmos aquele ''12'' de perto da incógnita, então:
16y + 12 - 12 = 156
Já sabe o que fazer para equilibrar a equação, certo?
16y + 12 - 12 = 156 - 12
Agora eliminando o 12 do primeiro termo e subtraindo 156 por 12, que dará: 144, ficaremos com:
16y = 144
O coeficiente 16 deve ser eliminado dali, para isso lembra o que fazer? Dividi-lo por ele mesmo, lembra?
16/16 y = 144
Não se esqueça nunca de manter a equação equilibrada, se você dividiu o 16 de um lado da equação, deve dividir do outro lado também:
16/16 y = 144/16
16/16 = 1 e 144/16 = 9, então:
1y = 9 ou y = 9
Ai está nossa raiz da equação! y = 9!
Vamos conferir se tudo ocorreu bem?
16y + 12 = 156
16*9 + 12 = 156
Notou que quando substituímos o 9 pela incógnita ''y'' na equação, multiplicamos o coeficiente pela incógnita? Ou seja, o 16 por 9.
Isso porque quando temos um coeficiente de uma incógnita, estamos multiplicando esse coeficiente pela sua incógnita. Seria o mesmo que escrever:
16*y ao invés de simplesmente: 16y
Quando não temos nenhum operador entre o coeficiente e a incógnita, estamos então multiplicando-os! Isso é uma convenção.
Continuando...
(16*9) + 12 = 156
144 + 12 = 156
156 = 156
Tudo certo!
Depois desses exemplos é muito importante que você já tenha aprendido como resolver as equações de primeiro grau! Caso contrário, recomendo dar uma lida novamente no conteúdo até aqui.
Pois bem, resolver uma equação de primeiro grau não é esse bicho de sete cabeças que aparentava ser, certo? Mas saiba que esse método de ''manter o equilíbrio da balança imaginaria'' é apenas um dos métodos que temos para resolver as equações!
Abaixo você irá conferir outro método que muitas pessoas utilizam para resolver as equações mais rapidamente, o método da operação inversa:
Operação inversa:
Além desse método de equilibrar os membros da equação, ou seja, tudo o que fazer de um lado, deverá ser feito do outro lado também, temos o método da operação inversa que é um método alternativo para resolvermos equações e consequentemente encontrarmos a raiz da mesma.
Esse método é mais rápido, não nos toma tanto tempo tentando manter a igualdade nos membros da equação, e ainda é mais recomendado de ser feito!
Vamos ver como se faz?
O método da operação inversa consiste em ''transferir'' os números e as incógnitas para os lados da equação, e assim trocar o seu sinal referente!
Como assim?
Vamos analisar nossa última equação que resolvemos:
16y + 12 = 156
No método do equilíbrio, nós devemos eliminar o 12 do primeiro membro da equação subtraindo-o por ele mesmo, e fazer a mesma coisa no segundo membro da equação, certo?
16y +12 - 12 = 156 - 12
Fazendo isso, o 12 se torna zero (não precisa ser escrito, ele simplesmente ''some'' da equação) e o -12 do outro lado da equação subtrai o 156.
Se você reparar bem, nós também podemos pensar que esse 12 foi transferido para o lado esquerdo do sinal de igual:
16y = 156 - 12
Antes de ser transferido, ele tinha um sinal positivo, se recorda?
16y + 12 = 156
Então quando ele passou para o outro lado do sinal, ele virou negativo:
16y = 156 - 12
Pois bem! A ideia da operação inversa é justamente fazer isso: Trocar o número ou a incógnita de membro na equação, e nesse processo, o número irá trocar de sinal!
O inverso da soma, é a subtração;
O inverso da subtração é a soma;
O inverso da multiplicação é a divisão;
O inverso da divisão é a multiplicação.
Perceba que subtraindo 156 com 12, iremos encontrar aquele antigo número que já havíamos encontrado anteriormente, 144:
16y = 156 - 12
16y = 144
Agora com o coeficiente da incógnita (o número 16) podemos fazer o mesmo! Pense... Se o 16 está multiplicando o ''y'', quando ele ser transferido pro outro lado da equação, ele passará dividindo (sua operação inversa). Então:
y = 144/16
y = 9
E novamente encontramos a raiz 9 dessa equação!
Perceba que com a operação inversa não houve a necessidade de eliminar o número conhecido do membro onde há a incógnita, não tivemos que equilibrar a equação, nem dividir os dois lados da mesma pelo coeficiente!
Bastou transferir o número conhecido para o outro lado da equação, trocar seu sinal e pronto! Muito mais rápido e simples, não?
Esse método pode ser mais útil quando temos equações maiores, como por exemplo:
4x + x - 7 = 18
Vamos utilizar a operação inversa aqui:
Passaremos esse ''-7'' pro outro lado da equação! Se ele estava subtraindo, ele vai passar somando:
4x + x = 18 + 7
18 + 7 = 25, então:
4x + x = 25
Agora iremos reduzir os termos semelhantes:
4x + x = 5x, logo:
5x = 25
Passando o coeficiente ''5'' pro outro lado da equação... Se ele estava multiplicando ''x'', ele passa pro outro lado dividindo:
x = 25/5
x = 5
Então aí está nossa raiz da equação!
Vamos lá conferir?
4x + x - 7 = 18
Substituindo ''x'' por 5 em toda a equação, teremos:
(4*5) + 5 - 7 = 18
20 + 5 - 7 = 18
25 - 7 = 18
18 = 18
Confere! Essa equação é verdadeira!
E quando temos incógnitas nos dois lados da equação?
2x - 40 + 3x = 8 - 7x
Apesar de parecer difícil, o princípio é o mesmo, basta reduzir os termos semelhantes e deixar incógnitas de um lado do sinal, e números conhecidos de outro, vamos lá:
No primeiro membro temos:
2x - 40 + 3x
Os termos semelhantes são 2x e 3x, basta somá-los:
2x + 3x = 5x
Então:
5x - 40 = 8 - 7x
Agora iremos passar esse ''-7x'' pro outro lado da equação, e iremos trocar seu sinal: Se ele estava subtraindo, vai passar pro outro lado somando:
5x + 7x - 40 = 8
Novamente reduza os temos semelhantes:
12x - 40 = 8
Agora ficou fácil, passe o 40 pro outro lado da equação e troque o sinal:
12x = 8 + 40
12x = 48
Por fim, o coeficiente deve também ser transferido pro outro lado da equação, e se estava multiplicando, passará dividindo:
x = 48/12
x = 4
Vamos conferir se essa raiz é exata?
2x - 40 + 3x = 8 - 7x
(2*4) - 40 + (3*4) = 8 - (7*4)
8 - 40 + 12 = 8 - 28
-20 = - 20
Tudo certo! 4 é a nossa raiz da equação!
Vamos resolver mais uma? Que tal essa?
6x = 60 + (-30)
Eliminado os parênteses do segundo termo do segundo membro da equação, utilizando a regra dos sinais:
6x = 60 - 30
6x = 30
x = 30/6
x = 5
Conferindo:
6*5 = 60 + (-30)
30 = 60 - 30
30 = 30
E essa aqui? Te parece mais complicada?
12x + 4 - 2x = 6x + 12 + x - 4 + 11
Nada disso! Vamos lá...
Primeiro vamos reduzir os termos semelhantes das incógnitas nos dois membros da equação! Note que os termos semelhantes estão coloridos:
12x + 4 - 2x = 6x + 12 + x - 4 + 11
Reduzindo tudo:
10x + 4 = 7x + 12 - 4 + 11
Agora vamos passar o 7x para o primeiro membro da equação, trocando seu sinal:
10x - 7x + 4 = 12 - 4 + 11
Novamente vamos reduzir os termos semelhantes das incógnitas:
3x + 4 = 12 - 4 + 11
Agora iremos passar aquele 4 positivo, pro segundo membro da equação, trocando seu sinal:
3x = 12 - 4 - 4 + 11
Reduzindo os termos semelhantes, agora referentes aos números conhecidos no segundo membro da equação:
3x = 12 - 8 + 11
3x = 15
Finalmente, o coeficiente de ''x'' o número 3, irá passar para o segundo termo da equação dividindo:
x = 15/3
x = 5
Nossa raiz da equação é o número 5, vamos conferir?
12x + 4 - 2x = 6x + 12 + x - 4 + 11
(12*5) + 4 - (2*5) = (6*5) + 12 + 5 - 4 + 11
60 + 4 - 10 = 30 + 12 + 5 - 4 + 11
54 = 54
Tudo correto!
Até onde você percebeu, por enquanto, todas essas equações tiveram raízes com números inteiros... Mas e no caso dessa equação: 7x - 2 = -4x + 5?
Vamos resolvê-la?
7x - 2 = - 4x + 5
7x + 4x = 5 + 2
11x = 7
x = 7/11
Bem, o 7 não é divisível por 11 e nem há como simplificar! Isso quer dizer que a equação está incorreta?
Claro que não!
A raiz da equação além de um número inteiro, ainda pode ser um número racional, também.
Logo, a raiz dessa equação: 7/11, está correta!
Propriedade distributiva:
Agora vamos avançar mais um pouco e vamos falar da propriedade distributiva!
Na propriedade distributiva, nós iremos multiplicar o termo da equação que se encontra fora do parênteses, por todos os números dentro do parênteses próximos à ele!
Vamos ver esse exemplo prático:
2x – 3(4 – x) = 5 + 4(2x + 1)
Antes de reduzirmos os termos semelhantes, iremos aplicar aqui a propriedade distributiva (que por ventura, você já aprendeu aqui -link em breve-) nos dois membros da equação:
Aplicação da propriedade distributiva aqui:
Aqui:
E no segundo membro da equação:
E por fim, aqui:
Pois bem, vamos então aplicar a propriedade:
2x -3(4 - x) = 5 + 4(2x + 1)
2x -12 + 3x = 5 + 8x + 4
E assim aplicamos a propriedade distributiva no segundo termo do primeiro membro da equação, o número ''-3''. Ele multiplicou 4 que resultou em ''- 12'' e depois multiplicou o ''-x'' que resultou em ''3x'' graças às regras dos sinais:
-3 * 4 = 12
- 3 * - x = 3x
O segundo termo do segundo membro da equação, o número ''4'' também passou pela propriedade distributiva: Multiplicou ''2x'' e resultou em ''8x'' e depois multiplicou o número 1, resultando em 4 positivo:
4 * 2x = 8x
4 * 1 = 4
Agora a equação ficou assim:
2x -12 + 3x = 5 + 8x + 4
Sem os parênteses ficou fácil de encontrar a raiz da equação:
2x -12 + 3x = 5 + 8x + 4
5x - 8x = 9 + 12
- 3x = 21
x = 21/-3
x = - 7
-7 é a raiz da equação!
Conferindo:
(2 * [-7]) - 3(4 - [-7]) = 5 + 4([2*{-7}] + 1)
- 14 - 12 - 21 = 5 - 56 + 4
- 47 = - 47
Tudo corretíssimo!
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