Sistema de Equações do Primeiro grau:

O que é?
Um sistema é basicamente a junção de duas ou mais equações, contendo mais de uma incógnita.
Até então, você esteve acostumado(a) a calcular equações encontrando o valor apenas de uma incógnita, mas nos sistemas de equações, você poderá encontrar duas, três, quatro, e até mesmo dez incógnitas!
Apesar de que, nesta aula, iremos aprender apenas a encontrar o valor de duas incógnitas, num sistema de equações do primeiro grau.
É fácil reconhecer um sistema de equações, eles são representados por duas equações distintas cada uma numa linha diferente, sendo inclusas por uma chave, sendo que num lado da igualdade deve conter as incógnitas e seus coeficientes e do outro lado da igualdade, os termos independentes, por exemplo:



Note que aqui temos duas incógnitas (x e y) e duas equações distintas. Portanto, nestas circunstâncias, temos um sistema de equações de grau 1.
Há quatro modos alternativos e eficientes para se calcular um sistema de primeiro grau, sendo que um deles será explicado numa aula posterior referente à determinantes e matrizes.
Porém, vamos aprender nesta aula os outros três métodos de calcular um sistema, são eles:

Método da substituição:
Dado um sistema qualquer, por exemplo:



Calcule x e y.

O método da substituição consiste em você isolar uma das duas incógnitas (qual você preferir) em qualquer uma das duas equações, e substituí-la na outra equação.
Vamos ver como se faz?

Vou isolar na primeira equação do sistema: x + y = 1; a incógnita ''y''. Para fazer isso, basta eu deixar a incógnita a ser isolada, de um lado da igualdade sozinha:

y = 1 - x

Note que o ''x'' passou para o outro lado da igualdade (para que possamos isolar ''y'' no outro lado da igualdade) e então ele trocou de sinal.

Agora temos um valor para ''y''! ''y'' vale 1 - x. 
Com este pensamento, podemos substituir ''y'' na outra equação, pelo novo valor que demos à ele, ou seja, 1 - x:

4x + 7y = 10 

4x + 7(1-x) = 10

Perceba que agora a equação contém apenas uma incógnita, no caso x.
Agora fica fácil, basta resolver a equação do primeiro grau:

4x + 7(1-x) = 10
4x + 7 - 7x = 10
-3x = 10 - 7
-3x = 3
-x = 3/3
-x = 1

Como não podemos ter uma incógnita negativa, multiplique os dois membros da equação por (-1) e troque o sinal de todos os termos:

x = -1

Por fim, encontramos a incógnita ''x''.
Porém, ainda precisamos encontrar ''y''.
Mas agora com o valor de x, fica fácil encontrar ''y''! Lembra que fizemos o seguinte? y = 1- x
Então! Basta trocar ''x'' na equação por ''-1'' (valor que encontramos para x) e encontrar ''y'':

y = 1 - x
y = 1 -(-1)
y = 1 + 1
y = 2

Então encontramos os valores de ''x'' e ''y'', concluímos então que o conjunto solução é o par ordenado: S={(-1; 2)}

Vamos resolver mais um sistema utilizando o método da substituição?

Encontre os valores de ''x'' e ''y'' no sistema abaixo:



À partir do método da substituição, podemos isolar uma das duas incógnitas em alguma das equações. Eu vou novamente isolar ''y'' na primeira equação, mas você pode isolar a incógnita que quiser, na equação que preferir:

3x + y = 13

y = 13 - 3x

Agora com um valor para ''y'', posso substituí-lo na outra equação:

x - 2y = 2

x - 2(13 - 3x) = 2

Resolvendo:

x - 26 + 6x = 2
7x = 26 + 2
7x = 28
x = 28/7
x = 4

Tendo ''x'' posso utilizá-lo naquela pequena equação que eu havia feito ao isolar ''y'': 

y = 13 - 3x

y = 13 - 3(4)

y = 13 - 12

y = 1

Encontrado ambos valores, posso criar o conjunto solução para a resposta final: S={(4; 1)} 

Para você ver que posso isolar ''x'' também, ao invés de ''y'', iremos refazer este cálculo, mas agora isolando ''x'' em alguma das equações, por exemplo, na segunda equação:

x - 2y = 2

x = 2y + 2

Substituindo 'x' na outra equação:

3x + y = 13

3(2y + 2) + y = 13

Agora temos apenas uma incógnita na equação, então basta resolver normalmente:

6y + 6 + y = 13
7y = 13 - 6
7y = 7
y = 7/7
y = 1

E assim como na resolução anterior, encontramos y = 1.
Agora para encontrar ''x'', basta substituir ''y'' na outra equação, onde isolamos ''x'':

x = 2y + 2

x = 2(1) + 2
x = 2 + 2
x = 4

E novamente nosso conjunto solução é S={(4; 1)} 

E isso para lhe provar que não importa quem você irá isolar primeiro, ou em qual equação isso será feito, o resultado será igual em ambos os casos, contanto que você realize o procedimento corretamente.

Eu prometi três métodos diferentes para resolver sistemas, certo? Então, você já conheceu o método da substituição, agora conhece o segundo método:

Método da adição:
Vamos utilizar um sistema para explicar este método, por exemplo:



Este método consiste em você somar todos os membros das suas equações, contanto que algumas das duas incógnitas sejam anuladas durante a soma.

Para se anular dois termos, basta que um seja o inverso do outro, ou seja, basta que ambos tenham sinais diferentes, porém valores iguais.
Um exemplo rápido:

+2 - 2

Esses números possuem valores iguais, porém possuem sinais diferentes, portanto, um é o inverso do outro, ou simplesmente podemos dizer que são simétricos.
Quando iremos somar 2 com -2, o resultado será zero, ou seja, um anula o outro.

No método da adição, podemos somar todos os termos das duas equações de uma vez, contanto que uma das duas incógnitas sejam simétricas, ou seja, tenham valores iguais, porém sinais inversos.
Neste caso, ''y'' e ''-y'' são simétricos, portanto podemos utilizar o método da adição diretamente:
Basta unir as duas equações e somando tudo:

2x + 3x + y + (-y) = 4 + 1

Agora é só resolver:

5x + y - y = 5

Perceba que como temos ''y'' e ''-y'' na equação, podemos anulá-los, por serem simétricos, ou seja, eles irão ser eliminados da equação, e então ficaremos com uma equação contendo apenas uma incógnita:

5x = 5

Por fim, basta resolver a equação:

x = 5/5
x = 1

Muito bom! Encontramos ''x''.
Agora para encontrar ''y'', basta substituir o ''x'' em alguma das suas equações que você desejar.
Eu irei substituir na primeira equação do sistema:

2x + y = 4

2(1) + y = 4

2 + y = 4
y = 4 - 2
y = 2

E aí está! Nosso conjunto solução é: S={(1; 2)}

Vamos ver outro exemplo?



Aqui se você for perceber bem, não possuímos termos simétricos. O que fazer?
Bem, o que temos a fazer é simplesmente transformar uma das incógnitas em simétricas.
Vou fazer isso com ''y'', mas você pode fazer com ''x'' se quiser, o resultado será o mesmo.
Para tornar dois termos simétricos, basta multiplicar a equação inteira por um número que iguale as incógnitas.

No caso, eu quero anular ''y'', e seus termos nas equações são: y e 2y, então basta eu multiplicar a equação da primeira linha por 2, assim eu terei 2y na linha de cima também, pois y vezes 2 é igual à 2y.
Mas eu preciso também que o sinal fique o inverso do outro termo, para que eu posso anulá-los, portanto, eu irei multiplicar a equação de cima por -2, para mudar o sinal de ''y'', veja:

x + y = 4 (-2)

Multiplicando todos os termos da equação por ''-2'', irei obter:

-2x - 2y = -8

O meu sistema fica assim:




Agora eu possuo dois termos simétricos: -2y e 2y, então posso agora anulá-los e somar ambas equações, sem problemas:

3x + (-2x)  = 9 + (-8)

E resolvendo:

3x - 2x = 9 - 8
x = 1

Agora com o valor de ''x'', basta substituí-lo em alguma das equações e encontrar ''y''. Irei substituir na segunda equação:

3x + 2y  9

3(1) + 2y = 9
3 + 2y = 9
2y = 9 - 3
2y = 6
y = 6/2
y = 3

Resposta: S={(1; 3)}

E este é o método da adição, basta anular um dos termos (talvez multiplicando alguma das equações, pelo termo da outra com o sinal trocado) e por fim, somar as duas equações.
Agora conheça o terceiro método:

Método da Comparação: 
Vamos encontrar ''x'' e ''y'' do sistema abaixo, utilizando este método:



Neste método, iremos isolar uma das duas incógnitas, em ambas as equações, e depois igualá-las, veja:

Irei isolar ''y'' nas duas equações:

Isolando ''y'' na primeira equação:

2x + y = 5

y = 5 - 2x

E agora isolando ''y'' na outra equação:

x - y = 1

-y = 1 - x

E multiplicando a equação por -1 para não ficarmos com a incógnita negativa:

y = x - 1

Agora temos duas equações que mostram valores alternativos para ''y''. Agora concorda comigo que: y = y?
Sim, não é? Se y = y, podemos então igualar as duas equações, veja:

y = y

5 - 2x = x - 1

Agora basta resolver:

-2x - x = -5 - 1

Para a incógnita não ficar negativa, multiplica-se todos os termos da equação por -1 e troca-se o sinal de todos:

2x + x = 5 + 1
3x = 6
x = 6/3
x = 2

Agora que encontramos ''x'', vamos substituir ''x'' por ''2'' em alguma das equações, para encontrar ''y'', por exemplo:

y = x - 1

y = 2 - 1

y = 1

Solução: S={(2; 1)}

E este é o método da comparação, basta isolar uma das incógnitas em ambas equações, e depois igualar as duas equações e por fim, resolver.

Pois então, aqui foi mostrado três métodos muito eficazes para se encontrar o valor de incógnitas num sistema de equações de primeiro garu, basta agora você saber utilizá-los em situações diferentes que lhe convém. 
Em alguns casos é mais eficiente utilizar o método da adição, por exemplo, como em outros, pode ser melhor utilizar o método da comparação! Depende do caso e de sua necessidade.
Mas não importa qual método você utilizar, se você fizer tudo certinho, o resultado será igual em todos os casos.

Certo, agora você sabe resolver um sistema com três métodos diferentes, mas e problemas envolvendo sistemas?

Problemas e Sistemas:
É muito comum que numa prova o sistema não venha já pronto para resolver, talvez você precise formulá-lo antes, à partir do enunciado do problema. Por isto, irei mostrar aqui dois exemplos básicos de como interpretar e montar um sistema, com referência ao enunciado do problema!
Só quero lhe avisar que: Cada problema pode pedir um modo diferente para criar o sistema, ou seja, depende do problema e da interpretação de texto de cada um, o que eu vou ensinar aqui é apenas como entender o enunciado e montar o sistema, mas nem sempre será desta forma, você irá precisar interpretar o problema antes.
Para identificar um problema que envolva um sistema, note que ele irá lhe pedir o valor de duas coisas distintas!

Vamos apenas nos recordar que: Quando fala-se em ''dobro'' estamos multiplicando um valor qualquer por 2, e quando falamos em ''triplo'' estamos multiplicando um valor qualquer por ''3'', e assim sucessivamente, certo?

Com base disso, leia o problema à seguir:

Me chamo Paulo, e meu irmão é cinco anos mais velho do que eu. O triplo da minha minha idade somado ao dobro da idade dele, dá 100 anos. Quais são nossas idade?

Vamos entender o problema...

Primeiro: O que ele pede?
Segundo: Quais são as informações passadas?

Bem, ele nos pede a idade de Paulo e do irmão dele! Certo! Então será isso que iremos encontrar!
Para facilitar nossos cálculos, vamos chamar a idade do Paulo de ''y'' e a idade do irmão dele de ''x'', que são os valores que não sabemos mas que queremos encontrar:

x = Idade do irmão;
y = Idade do Paulo

Certo, agora vamos pensar... Quais foram as informações fornecidas?
Oh sim... Que o irmão de Paulo é 5 anos mais velho do que ele!
Então posso dizer que a idade de Paulo é igual à idade do irmão dele, mais 5, claro!

Se a idade de Paulo é ''x'' e a idade do irmão dele é ''y'', então:

x = y + 5

Muito bom! Agora veremos a outra informação...

O problema nos diz que o tripo da idade de Paulo somando ao dobro da idade do irmão dele será 100.

Então o triplo é 3 vezes um valor dado, no caso, este valor seria a idade de Paulo, que não sabemos, mas que chamamos de ''y'', então:

3y

E somando o dobro da idade do irmão dele... O dobro é dois vezes algum valor, no caso, o valor é a idade do irmão de Paulo, que chamamos de ''x'', então:

3y + 2x

E o enunciado diz que essa soma resultará em 100, portanto:

3y + 2x = 100

Perfeito! Agora temos duas equações e duas incógnitas, podemos então montar o sistema:




Agora para resolver o sistema, basta aplicar um dos métodos já mostrados nesta aula!
No caso, o método da substituição seria mais eficaz, pois se reparar na primeira equação do sistema, já temos ''x'' isolado, então substituindo ''x'' na outra equação:

3y + 2x = 100

3y + 2(y + 5) = 100

Resolvendo:

3y + 2y + 10 = 100
5y = 100 - 10
5y = 90
y = 90/5
y = 18

Então encontramos a idade de Paulo! 18 anos! Mas ainda precisamos encontrar a idade do irmão dele...
Para isso, basta trocar ''x'' por 18 em alguma equação e pronto:

Se:

x = 5 + y

Então:

x = 5 + 18
x = 23

Portanto, a idade do irmão de Paulo é 23 anos! De fato, 5 anos mais velho que ele.

S={(18; 23)}

Viu? É tudo questão de interpretação e raciocínio lógico.

Vamos resolver mais outro problema:

Tenho que comprar lápis e canetas. Se comprar 7 lápis e 3 canetas, gastarei R$ 16,50. Se eu comprar 5 lápis e 4 canetas, gastarei R$ 15,50. Qual o preço de cada lápis e cada caneta? 

Vamos pensar...

Primeiro: O que ele pede?
Segundo: Quais são as informações passadas?

Ele nos pede os preços do lápis e da caneta, certo?
Então iremos chamar o preço do lápis de ''x'' e o preço da caneta de ''y'':

x = Preço do lápis
y = Preço da caneta

E agora vamos montar o sistema de acordo com as informações dadas:
"Se comprar 7 lápis e 3 canetas, gastarei R$ 16,50...''

Então se o ''x'' representa os lápis e ''y'' as canetas, temos que:

7x + 3y = 16,50

Agora:

"Se eu comprar 5 lápis e 4 canetas, gastarei R$ 15,50...'''

Então:

5x + 4y = 15,50

E aí estão nossas duas equações! Vamos formar o sistema?



Para facilitar... Eu irei utilizar o método da adição, mas você pode utilizar o método que preferir.
Irei anular ''y'', e para isso irei multiplicar por -4 a equação de cima e por 3 a equação de baixo:



Irei ficar com:

 

Agora eu tenho 12y e -12y que são simétricos, portanto, posso anulá-los e somar tudo:

-28x + 15x = -66,00 + 46,50

E vamos eliminar as vírgulas para facilitar o cálculo:

-28x + 15x = -6600 + 4650

Incógnita negativa... Multiplica tudo por -1:

28x - 15x = 6600 - 4650

E resolvendo:

13x = 1950
x = 1950/13
x = 150

Então temos que o preço do lápis é R$ 1,50.
Para encontrar o preço da caneta, basta substituir x em alguma das equações:

7x + 3y = 16,50

7(150) + 3y = 1650

1050 + 3y = 1650
3y = 1650 - 1050
3y = 600
y = 600/3
y = 200

O preço das canetas, por fim é R$ 2,00 reais.

Solução: {(1.50; 2.00)}