Olá, tudo bom? Hoje iremos resolver uma questão com relação ao plano inclinado em dinâmica, uma questão interessante envolvendo atrito e equilíbrio que caiu na PUC-RJ em 2009, vamos lá?
Um bloco de massa m é colocado sobre um plano inclinado cujo coeficiente de atrito estático = 1 como mostra a figura. Qual é o maior valor possível para o ângulo α de inclinação do plano de modo que o bloco permaneça em repouso?
Alternativas:
A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 75°
E) 90°
Na verdade o que o problema está pedindo é uma medida exata para o ângulo deste plano, de forma que o bloco continue em repouso e não escorregue.
Uma informação importante que foi dita na questão é que o bloco está em repouso.
Lembrando da condição para equilíbrio ou repouso de um corpo, é a força resultante (A soma dos vetores das forças) deve ser igual a zero, logo:
Fr = 0
Agora vamos analisar e pensar quais são as forças atuantes no bloco:
Força peso que está apontada para o centro da Terra:
Força normal:
E como foi citado o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano, devemos considerar a força de atrito inversa à inclinação do bloco:
Por conta da inclinação do vetor da força peso (P) podemos decompor seu vetor em suas componentes: Px (Apontada para a inclinação do bloco) e Py (Perpendicular a força Normal):
Nota-se que como Py e N são perpendiculares essas forças tem o mesmo módulo, porém sentidos opostos, então sabemos que uma poderá anular a outra.
Logo, a força resultante será a junção da força de atrito (Fat) e a componente horizontal da força peso (Px).
Como a componente Px está à favor da inclinação do bloco, e a força de atrito ''atrapalha'' o movimento, teremos:
Fr = 0
Px - Fat = 0
Agora podemos isolar ''Px'' na equação, passando ''Fat'' para o outro lado da igualdade. Como seu sinal era negativo, passa a ser positivo:
Px = Fat
Esta é nossa relação.
Com o conhecimento das aulas em dinâmica, sabe-se que Px vale:
Px = P*sen(α)
E a expressão para a força de atrito é:
Fat = μ*N
"μ" Seria o coeficiente de atrito estático que o problema nos disse que é igual a 1, e "N" a Força normal. Como não temos a informação da massa do bloco, não temos como calcular a força Normal do mesmo, porém, já sabemos que a força Normal é proporcional à componente vertical da força peso (Py), logo, podemos substiuir "N" na expressão por Py:
Fat = μ*Py
Sabemos também que Py = P*cos(α)
Então a força de atrito fica como:
Fat = μ* P*cos(α)
Como temos a relação:
Px = Fat
Podemos substituir "Px" por P*sen(α) e ''Fat'' por μ* P*cos(α), então:
P*sen(α) = μ* P*cos(α)
Perceba que podemos anular "P" de ambos os lados da igualdade, então teremos:
sen(α) = μ* cos(α)
Passe o cosseno do ângulo alfa para o outro lado da igualdade que no caso está multiplicando ''mi'', e deixe-o dividindo pelo seno do ângulo alfa:
De acordo com as relações trigonométricas, podemos afirmar que seno do ângulo alfa dividido pelo cosseno deste mesmo ângulo é igual a tangente de alfa:
Apenas não se esquecendo que ''mi'' é o coeficiente de atrito estático, que o problema nos diz que vale 1, então:
Por fim, note que temos uma relação entre 1 e a tangente... Agora pense um pouco... Lembre-se da tabela dos arcos notáveis e perceba... Que ângulo é referente à tangente de 1?
Veja que a Tangente de 1 é referente à justamente o ângulo de 45º.
Por fim conclui-se que o ângulo que deve-se fazer entre o plano inclinado e sua superfície para que o bloco continue em repouso, é 45º:
B) 45°
C) 60°
D) 75°
E) 90°
Alternativa B.
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