Decifrando Logaritmos primos ou extensos!

Olá! Hoje venho trazer uma dica muito interessante e importante referente aos logaritmos.

Vamos supor que você tenha a necessidade de encontrar o log de um determinado número... Por exemplo: 

Pois bem, você primeiramente deve fatorá-lo, certo? Então vamos lá:

Log164:

164 | 2
  82 | 2
  41 | ?

Pois bem, temos aqui um impasse! O número 41 é um número primo, ou seja, pode apenas ser dividido por um ou por ele mesmo! O que nos resta fazer é preencher o último fator mesmo assim:

164 | 2
  82 | 2
  41 | 41
    1 |

Montando nosso novo logaritmo decomposto, teremos então:



Veja que podemos aplicar uma das propriedades dos logaritmos, a propriedade do produto:

Uma multiplicação de logaritmo pode se transformar numa simples soma:



Outra propriedade que pode ser aqui aplicada é a propriedade da potenciação, onde o expoente de um log pode passar multiplicando a sua base:



Basta agora resolvermos os logs de 2 e 41:

Note que 2 é um número primo, e é interessante sempre decorar os logaritmos dos primos: 2, 3, 5, 7 e 11!
Sabemos por mente que log2 = aproximadamente 0.3, então:



Multiplicando o 2 por 0.3, teremos:



Pois bem, agora falta somar 0.6 com o log de 41! Mas aí que está o problema... Não sabemos o log de 41 por ser um número primo! Também não o sabemos de cór... O que fazer? Usar a calculadora? Não!
Vamos explicar o método para encontrar o logaritmo de números primos ou números muito grandes, acompanhe:

No caso do log de 41, basta transformá-lo numa notação científica! Não sabe como faz?
Acrescente uma vírgula após o primeiro algarismo do número: 41 -> 4,1 e depois multiplique por 10 --> 4,1*10
Mas não termina por aí... Este 10 precisa conter um expoente de potência, e esse expoente seria justamente o número de algarismos após a vírgula: No caso de 4,1 temos apenas um número após a vírgula, que seria o número 1, então teríamos:

4,1*10¹

Agora vêm a mágica:

Você já deve saber que um logaritmo possui uma característica (ou seja, o número antes da vírgula) e uma mantissa (o número que vem depois da vírgula) certo?
Então para encontrar a mantissa do logaritmo, encontre apenas o log do número antes da vírgula, no caso, o 4 -> 4,1

Log de 4 têm como fazer, veja:

4 | 2
2 | 2
1

log2²
2 * log2
2 * 0.3 = 0.6

Então temos que o log de 4 é aproximadamente 0.6! Guarde este número.

Agora para encontrar a característica do logaritmo, veja qual é o expoente do 10 na notação científica! 1, não é?
Então encontrando a mantissa e a característica do logaritmo, basta simplesmente somá-los:

1 + 0.6 = 1.6

Portanto, o logaritmo de 41 é aproximadamente 1.6, pode conferir numa calculadora científica!!

Agora que sabemos o logaritmo de 41 (sem precisar da calculadora) basta continuar nosso cálculo:




Conclusão: O logaritmo de 164 é aproximadamente 2.2, e isso pode ser facilmente conferido numa calculadora científica.

Gostou? Então vamos utilizar esse método com mais números?

Calcule:

log491
log2153
log12347

log491 -> 4,91*10²

log4 já vimos anteriormente... log4 = aproximadamente 0.6

2 + 0.6 = 2.6

log2153 -> 2,153*10³

log de 2 você já sabe... Aproximadamente 0.3:

3 + 0.3 = 3.3

log12347 -> 1,2347*10^4

log de 1 você precisa saber... É zero!

4 + 0 = 4

Por fim:

log491 = aproximadamente 2.6
log2153 = aproximadamente 3.3
log12347 = aproximadamente 4

Se quiser conferir esses resultados numa calculadora... Fique à vontade!!

E além de saber utilizar esse método, você precisa saber sempre que o logaritmo de 1 é zero e também precisa saber os logaritmos dos seguintes primos:

log2 = aproximadamente  0.3
log3 = aproximadamente  0.47
log5 = aproximadamente  0.7
log7 = aproximadamente  0.8

Os logs de 4, 6, 8 e 9 você pode encontrar através do modo tradicional da fatoração e a propriedade dos logaritmos já que não se tratam de números primos.

Para encontrar logaritmos de números decimais, por exemplo: log4.3 o método é outro, quer ver?

Na verdade este método é utilizado pois não poderíamos transformar o 4.3, por exemplo, numa notação científica por ele já se tratar de um decimal.
Então neste caso devemos fazer a interpolação de 4.3! Mas não se assuste com este termo... Na verdade você só precisa definir os dois números que estão entre 4.3! No caso, seria o 4 e o 5, concorda?
Pois entre 4 e 5, com certeza estará o 4.3 na reta numérica.

Então basta fazer: O logaritmo de 5 menos a subtração do log de 5 e o log de 4 dividido por 2. Fica algo mais ou menos assim:



Pois bem... Sabemos que log de 5 = aproximadamente 0.7 e quem log de 4 é aproximadamente 0.6, então:



Agora resolvendo primeiro o que há em parênteses:



E 0.1 divido por 2 é 0.05

Por fim temos que:

0.7 - 0.05 = 0.65

Conclusão: O log de 4.3 é aproximadamente 0.6 (apenas utilizando a primeira casa decimal).
Na verdade se gostaríamos de acessar a segunda casa decimal exata do log de 4.3 seria o número 3, ou seja: 0.63 e em nosso resultado obtivemos 0.65! Essa divergência ocorreu graças ao arredondamento dos logs de 5 e 4, mas na verdade isso não altera o resultado em si, já que na maioria dos casos consideramos apenas a primeira casa decimal dos logs.

Vamos ver mais outro exemplo?

Encontrar: log7.6

Para resolver esse log iremos utilizar o mesmo método da interpolação, por isso, eu fiz aqui uma pequena fórmula para você não se esquecer de como se constrói esse tipo de cálculo:



Explicando:
LogIM significa o log da interpolação Maior entre o número sugerido, e o LogIm significa o log da interpolação menor deste número, compreende? 

No caso de 7.6 você não concorda que este número esteja entre o 7 e o 8? Pois bem, a interpolação maior de 7.6 é o 8 e a menor é o 7, logo:




Sabemos que log de 7 é aproximadamente 0.8, então:




Agora vamos encontrar o log de 8:

8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 

log2³ -> 3*log2 -> 3*0.3 -> 0.9

Então encontramos o log de 8, basta substituir na fórmula:




Certo! Basta agora resolver:



Por fim, o logaritmo de 7.6 é aproximadamente 0.8!

Esse método também pode ser aplicado com logaritmos de números naturais, não apenas com logs de números decimais, veja:

log385

A interpolação de 385 é 300 e 400, ok? Então:



Podemos encontrar os logs de 400 e 300 facilmente com o método da notação científica, acompanhe:

log400 = 4,00*10²
2 + 0.6 = 2.6

log400 = 2.6

log300 = 3,00*10²
2 + 0.47 = 2.47

log300 = 2.47

Substituindo na fórmula os valores dos logs encontrados:



Resolvendo:



Conclusão: O logaritmo de 385 é aproximadamente 2.5

Agora tente fazer você mesmo o log de 4794 utilizando este método. (Resposta logo abaixo).

log4794



log5000 -> 5,000*10³
3 + 0.7 = 3.7

log5000 = 3.7

log4000 = 4,000*10³
3 + 0.6 = 3.6




Resposta: log4794 é aproximadamente 3.6


Pois bem, aí estão dois métodos para encontrar logaritmos de números primos, extensos ou decimais!
Lembrando que este método só se aplica à logaritmos de base 10, ou seja, logs decimais.

Até mais!