Equações do Segundo Grau

Introdução:
Olá! Continuando nossas aulas sobre álgebra e equações, hoje trago a aula sobre as equações do segundo grau.
Antes de começar a aula, tenha em mente que você precisa ter um conhecimento sobre potências, raízes, e equações de grau 1. Sabendo o básico de cada um desses assuntos você estará preparado(a) para conhecer as equações de segundo grau.

Mas o que é uma equação de grau dois? Como eu a identifico?
Uma equação de segundo grau introdutoriamente é definida da seguinte forma:

ax² + bx + c = 0

Analisando os termos dessa equação, podemos chamar os números que acompanham a incógnita de ''coeficientes'' e o número que não está acompanhando nenhuma variável de ''termo independente''.
No caso desta equação introdutória, podemos dizer que ''a'' e ''b'' são os coeficientes da equação e que ''c'' é o termo independente. 
É muito importante que você saiba que o coeficiente que sempre acompanhará a variável x² será representado pela letra ''a'' e o coeficiente que sempre irá acompanhar a variável x é representado pela letra ''b''.
A equação quando organizada e pronta para ser calculada deve conter sempre o zero no lado direito da igualdade.
Essa equação do tipo 2 possui este nome por conta da variável x² presente na mesma. Como o seu expoente é o maior entre os demais expoentes na equação e se referir ao número dois, esse cálculo ganha a denominação ''grau dois'' por conta deste fator. O que te leva a pensar que, por exemplo, uma equação identificada como 3º grau ganha este nome por conter uma variável igual à x³ e os outros expoentes das outras variáveis forem menores que três.

Pois bem, por conta dessa definição, a condição de existência de uma equação de segundo grau é bem simples: O coeficiente ''a'' deve ser diferente de zero (a ≠ 0)
Essa definição é bem fácil de ser entendida, pois pense... Qualquer número multiplicado por 0 é consequentemente igual à zero, e se o coeficiente de x² (o que torna a equação ser de grau 2) multiplicar zero, o resultado será zero, e a variável x² passará a não existir mais, o que implica em não termos mais uma equação de segundo grau, veja:

0 * x² = 0
Sem a variável x² não podemos ter uma equação de grau 2. Portanto, o coeficiente ''a'' deve ser sempre diferente de zero.

Identificando coeficientes:
Agora vamos aprender a conhecer e identificar os coeficientes e os termos independentes nas equações, utilizando equações genéricas (apenas para explicações):

Determine na equação de grau 2 abaixo, os coeficientes a e b e o termos independentes:

3x² - 5x + 9 = 0

Note que ''a'' é no caso, o 3 (por estar acompanhando o x²); que -5 seria ''b'' (acompanhando a variável x) e 9 seria ''c'' (termo independente):

a = 3
b = 5
c = 9

E nesta equação?

-7x -89x² + 12 = 0

Às vezes pode acontecer da equação não estar organizada na ordem, a,b e c, então você precisa ficar de olho em quem é quem, neste caso:

a = -89
b = -7
c = 12

Nunca se esqueça de que o sinal à esquerda do número faz parte dele, também!

Por fim, encontre os coeficientes desta equação:

4x² - 6x + 9x - 78 + 2x² = -3 + x - 30

Agora complicou um pouco, não? Mas basta unir os termos semelhantes que tudo irá se clarear, acompanhe:

Primeiro organize a equação e deixe próximos os termos semelhantes:

4x² + 2x²  -6x + 9x - 78 = -3 + x - 30

Note que a equação foi apenas reorganizada no primeiro membro da mesma! Agora precisamos deixar o segundo membro da equação igual à zero, para isso, passe todos os termos da direita pra esquerda da igualdade, não se esquecendo de inverter seus sinais:

4x² + 2x²  -6x + 9x - x - 78 + 30 + 3 = 0

Agora para encontrar os coeficientes e o termo independente, calcule os termos semelhantes:

4x² + 2x²  -6x + 9x -x - 78 + 30 + 3 = 0
6x² + 2x - 45 = 0

Então temos que:

a = 6
b = 2
c = -45

Agora que já sabe encontrar os coeficientes das equações de segundo grau, vamos aprender a resolvê-las?

Fórmula de Bhaskara & Delta:
O modo mais eficiente para se calcular equações de segundo grau é através da fórmula de Bhaskara!
Vamos calcular a seguinte equação:

x² - 3x - 4 = 0

Agora vamos identificar os termos:

a = 1
b = -3
c = -4

Note que ''a'' é 1. Isso porque quando não temos nenhum número acompanhando a variável, subentende-se que temos ali o 1 multiplicando a incógnita.

Pois bem, agora que sabe quem são os termos, vamos dar uma olhada na fórmula de Bhaskara que ajudará a resolver essa equação:



E esta é a fórmula de Bhaskara!
x vai ser igual à -b mais ou menos a raiz quadrada de Delta (em breve explicarei quem é Delta) tudo isso dividindo 2 que multiplica ''a''.

Para resolver a equação de segundo grau, basta substituir os termos ''a'', ''b'' e ''c'' na fórmula e calcular o que restou, veja:

Se ''b'' é -3 e ''a'' é 1, então podemos deixar a fórmula assim:



Agora precisamos resolver aquele triângulo ali dentro da raiz, que se chama ''Delta''.
Delta na verdade vale o seguinte:



Para encontrar o valor de Delta, basta substituir os termos ''a'', ''b'' e ''c'' em sua fórmula, veja:

Se:
a = 1
b = -3
c = -4

Então:



Agora resolva primeiro a potência (-3)²:

-3² é o mesmo que: -3 * -3 = +9
Ou seja, 3 vezes 3. Todo número negativo elevado à um expoente par, terá um resultado positivo, portanto:



Agora efetue a multiplicação, não se esquecendo da regras de sinais:

-4 *1 * -4  = 16

O resultado deu 16 positivo, então:





Por tanto, Delta vale 25! Basta substituir o Delta da fórmula pelo número encontrado:



25 como uma raiz quadrada exata é fácil de calcular: A raiz quadrada de 25 é igual à 5:



Agora elimine aquele sinal de - à frente do -3 utilizando as regras dos sinais (menos com menos dá mais, portanto:)



Por fim, efetue a multiplicação entre 2 e 1:



Agora preste atenção: Normalmente numa equação de segundo grau obtemos dois resultados (também conhecidos como raízes da equação) pelo fato daquele sinal de ''mais ou menos'' entre o 3 e o 5, que nos permite ter duas operações.
Então chamamos a primeira raiz da equação de x1 (lê-se x uma linha) e a segunda raiz da equação de x2 (lê-se x duas linhas).
Para encontrar o x1 basta utilizar o sinal de soma do mais ou menos, assim:



Efetuado teremos: 3+5 = 8
8 dividido por 2 = 4

Então nosso x1 é 4.

E claro, para encontrar o x2 usaremos a subtração:



3 menos 5 negativo é igual à 2 negativo. 2 negativo dividido por 2 é igual à 1 negativo:

3 - 5 = -2
-2/2 = -1

Então o x2 equivale à -1.

Portanto, a solução dessa equação de segundo grau é: S={-1; 4} ou seja, as raízes da equação: -1 e 4.

Vamos resolver mais uma para fixar a ideia?

Encontrar a solução para a equação:

3x + 2x² -8 -2 + 3x = -x - 3x² -8 + 4x

A primeira coisa a se fazer numa situação dessas é reorganizar a equação, deixando os termos semelhantes próximos:

2x² + 3x + 3x -8 -2 = -x - 3x² -8 + 4x

Agora deixe o lado direito da equação vazio.
Para isso, transfira todos os termos do lado direito da igualdade, para o lado esquerdo e troque seus sinais:

2x² + 3x² + 3x + 3x + x - 4x - 8 + 8 - 2 = 0

Agora reduza os termos semelhantes e obtenha:

5x² + 3x - 2 = 0

Então identifique os termos:

a = 5
b = 3
c = -2

Vamos encontrar o Delta:



Agora substitua todos esses valores na fórmula de Bhaskara:






Resolvendo a raiz, os sinais e a multiplicação:




Encontrando o x1:




E o x2:




Então a resposta é:
S={-1; 2/5}



Verificando as raízes reais:
Algo também que pode determinar quantas raízes a equação terá é o Delta.
Uma equação de segundo grau pode ter duas raízes reais (como o caso acima), uma raiz real ou nenhuma raiz real.
Você pode saber antecipadamente quantas raízes reais sua equação terá, apenas observando o resultado do Delta:

Se Delta for maior que zero, ou seja, um número positivo, teremos duas raízes reais diferentes:



Se Delta for igual à zero, teremos o x1 e o x2 iguais, ou seja, teremos apenas uma raiz real:



Se Delta for menor que zero, ou seja, um número negativo, não teremos raízes reais, pois não há como calcular raízes quadradas de números reais negativos (a não ser em números complexos, o que não é o caso aqui)

Delta negativo não existe no conjunto dos reais!

Por isso, quando isso acontecer você pode colocar um conjunto solução vazio: S={ø}

Vamos ver cada um dos casos?

Encontre as raízes reais de:

1) 2x² + 4x + 2 = 0
2) x² - 8x + 7 = 0
3) 3x² -5x + 9 = 0

Vamos resolver o primeiro:

2x² + 4x + 2 = 0

Encontrando os coeficientes:

a = 2
b = 4
c = 2

Encontrando o valor de Delta:




Delta deu zero, portanto teremos apenas uma raiz real!
Substituindo os valores na fórmula:





Calculando o valor de 2*2:



Agora temos que a raiz de zero é o próprio zero, portanto mesmo se somarmos -4 com zero, ou subtraímos, não vai alterar o resultado, então:



Portanto, a raiz desta equação é -1.
Resposta: S={-1}

Faremos a segunda agora:

2) x² - 8x + 7 = 0

a = 1
b = -8
c = 7

Encontrado o Delta:


Delta maior que zero, então teremos duas raízes reais.
Continuando:





 

Resposta: S={1; 7}

Por fim:

3) 3x² -5x + 9 = 0

a = 3
b = -5
c = 9

Vamos encontrar o Delta:



Se Delta é menor que zero, a equação não possui raízes reais. O que é o caso desta equação, visto que -83 é um número negativo, portanto menor que zero.

Resposta: S={ø}


Propriedade distributiva:

Pode acontecer de você encontrar equações como esta:

x (x + 3) - 40 = 0

Em casos como este, basta aplicar a propriedade distributiva:

x² + 3x - 40 = 0

Agora basta resolver através da fórmula de Bhaskara:

a = 1
b = 3
c = -40

Delta:



Substituindo os valores na fórmula:








S= {-8; 5}

Outro caso que você pode encontrar é algo como isto:

(x + 3)² = 1

O primeiro membro da equação está elevado ao quadrado, ou seja, é aquilo tudo vezes ele mesmo. Em outras palavras, é x+3 vezes x+3:

(x+3) (x+3) = 1

Utilize a propriedade distributiva para encontrar a equação de segundo grau:

x² + 3x + 3x + 9 = 1

Somando os termos semelhantes e passando aquele 1 para o outro lado do sinal, teremos:

x² + 6x + 9 - 1 = 0

E finalmente:

x² + 6x + 8 = 0

Agora basta aplicar Delta e Bhaskara para encontrar as raízes da equação!
Se quiser, pode tentar fazer sozinho(a), a resolução está logo abaixo:

S= {-4; -2}

Raiz de Delta inexata: 

Vou explicar rapidamente como resolver uma equação de segundo grau onde Delta não será uma raiz quadrada exata, por exemplo:

3x² - 4x - 17 = 0

No Delta iremos ter:



Na fórmula teremos:



Como não sabemos o valor exato da raiz quadrada de 220, podemos fazer somente a multiplicação de 2 e 3:



Para x1 teremos 3 mais raiz de 220 dividido por 6, onde podemos simplificar 3 e 6 por 3 e encontrar 1/2:





E para x2 o mesmo, só que com o sinal de menos:




A solução fica assim:




Ou você pode encontrar a raiz de 220 utilizando uma calculadora e verificar que sua raiz quadrada é um valor aproximado à 14, então basta substituir raiz de 220 por 14 na fórmula e encontrar a seguinte solução:
S={11/6; 17/6}

Equações de segundo grau incompletas:
Você já estudou que uma equação do 2o grau não pode ter a = 0, pois se não a equação não irá existir, correto? Mas há casos em que teremos equações onde b = 0 ou c = 0. 
Esses tipos de equações têm o nome de ''equações do segundo grau incompletas'', e para cada um dos dois tipos de equação temos uma solução diferente, veja:

1º Caso: ax² + c = 0
No caso de não termos o coeficiente B, ou seja, b = 0

Resolva a equação:

-9 + x² + 2x = 2x

Vendo assim, a equação não parece incompleta, certo? Errado!
As equações de segundo grau precisam ficar organizadas de forma que o lado direito da igualdade fique vazio, ou seja, igual à zero.
Então devemos trazer o coeficiente de x, ''2'' para o lado esquerdo da igualdade, trocando seu sinal, logo:

-9 + x² + 2x - 2x = 0

Note que 2x e -2x são opostos, logo, eles podem ser cancelados.
Então ficamos com:

x² - 9 = 0

A equação do segundo grau está incompleta, pois neste caso não temos mais o coeficiente B. (b = 0)

Em casos como este, devemos isolar a única incógnita na equação (no caso, x²) em um dos lados da equação.
Para fazer isto, basta transferir o termo independente para o outro lado da igualdade:

x² = 9

Agora o expoente da incógnita, no caso, o número 2, passa para o outro lado da igualdade também, só que de uma potência, ele vira uma raiz quadrada:

x = √9
x = ±3

Ou seja, nossas raízes da equação são: 3 positivo e 3 negativo, por se tratar de uma extração de raiz:

E aí está nossa solução: S={-3; 3}

Quer ver mais um exemplo?

Resolva a equação do segundo grau incompleta, abaixo:

2x² - 144 = 0

Primeiro isole a incógnita do termo independente:

2x² = 144

Agora transfira aquela potência para o outro lado da igualdade numa raiz quadrada:

2x = √144

Extraindo a raiz quadrada de 144 você encontrará ± 12, então:

2x = ± 12

Passe o coeficiente ''2'' para o outro lado da equação dividindo:

x = ±12/2
x = ±6

Encontradas as raízes da equação, escreva a solução:
S={-6; 6}

2º Caso: ax² + bx = 0
No caso de não existir o termo independente, ou seja, c = 0:

Por exemplo nesta equação:

x² - 6x = 0

Num caso destes, iremos colocar em evidência o fator comum dentre os termos da equação.
O fator comum neste caso é o x, concorda?

Quando colocamos algum fator comum em evidência, estamos dividindo-o com seus termos que o possuem, na verdade.
Isso é feito para que possamos reduzir à um mesmo fator os termos diferentes. Queremos reduzir x² à x e x à zero, então os dividimos, veja:
Colocando ''x'' em evidência temos:

x(x-6) = 0

Como isso ocorreu?
Aquele x fora do parênteses indica qual é o fator comum, ou seja, o próprio x, e que ele ainda dividiu os outros termos que continham x, no caso x² e x.

x² ÷ x

Uma das regras de potenciação é: Quando temos uma divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtrai os expoentes!
x na verdade é x¹ (só que não escrevemos o 1 no expoente, por convenção) então na verdade estamos subtraindo 2 de 1, veja:

x² ÷ x¹
2 - 1 = 1

Então ficamos com x¹ ou simplesmente x:

x(x-6) = 0

Então nesta nova equação, o x ali na verdade era o x² que foi dividido com o fator comum, entende?
E isso explica porque o outro ''x'' não está mais presente na equação, pois ele também foi dividido por x:

x¹ ÷ x¹ = 0

Então temos a seguinte equação: x-6 = 0

Quando colocamos um fator comum em evidência, uma das raízes da equação será consequentemente zero.
Então já temos o x1, que é zero.

O x2 podemos encontrar realizando essa equação de primeiro grau simples:

x-6 = 0
x = 6

Então nosso x2 é 6 positivo.

Nossa solução ficou assim:

S={0; 6}

Vamos ver outro exemplo, ok?

3x² - 10x = 0

Colocando o x em evidência, iremos obter:

x(3x - 10) = 0

Encontrando o x1 = 0

x2 vai ser a resolução da equação do primeiro grau:

3x - 10 = 0
3x = 10
x = 10/3

Então a solução é:

S={0; 10/3}

Bem ainda podemos ter o terceiro caso onde: ax² = 0
Onde não temos nem b e nem c na equação.
Isto é algo bem incomum de acontecer, mas para não ficar nenhuma dúvida... Saiba que em casos como este, ''x'' sempre será igual à zero para satisfazer a equação. Veja um exemplo:

4x² = 0

Passe aquela potência para o outro lado do sinal numa raiz:
4x = √0

Raiz de zero é zero, não? Então:
4x = 0

Agora para isolar o x no lado da equação, passe o 4 dividindo:
x = 0/4

Qualquer número dividido por 0 é o próprio 0, portanto:

x = 0

E isso irá acontecer com qualquer coeficiente de x² numa equação desse tipo:

5495375935938x² = 0

5495375935938x = √0
x = 0/5495375935938
x = 0

Não se confunda!! Uma equação de 2º grau deixa de existir se ''a'' é igual à zero, ou seja, o coeficiente de x². No caso de x ser igual à zero, ou seja, a incógnita da equação, é totalmente plausível, como visto acima.



Finalização:
Nossa aula de introdução à equações do segundo grau termina aqui!
Espero que tenha gostado da aula! Qualquer dúvida, re-leia a aula completa, ou mande sua dúvida através dos comentários deste blog!
Continue estudando nosso tópico de equações do segundo grau clicando aqui para aprender outros conceitos das equações de grau 2.
Bons estudos.