Círculo Trigonométrico - Seno, Co-Seno e Tangente

Introdução:

Hoje você vai aprender mais algumas outras propriedades do círculo trigonométrico com relação ao Seno, Cosseno e Tangente.

Iremos hoje estudar o eixo do Seno e Cosseno, e como eles se comportam com os ângulos dentro do ciclo trigonométrico.

Construção do Círculo Trigonométrico: 

Antes de começar a aula, vamos aqui desenhar nosso círculo trigonométrico contendo algumas das propriedades vistas na aula passada:

Nosso círculo trigonométrico deve estar dividido em quatro quadrantes à partir dos eixos do plano cartesiano:

Além dos quadrantes, ainda teremos os ângulos principais:

Agora com relação aos quadrantes e os eixos x e y, lembre-se da seguinte relação:

Os sinais de mais (+) e menos (-) indicam o sinal de cada quadrante com relação ao seu respectivo eixo.

Perceba que no primeiro quadrante, temos dois sinais positivos. O que isso indica? Indica que o primeiro sinal é referente ao eixo x, ou seja, o eixo horizontal, e o segundo sinal é referente ao eixo y, ou seja, o eixo vertical.

Note que o primeiro quadrante está localizado ao lado direito do eixo horizontal, ou seja, no lado positivo, assim como também está localizado na parte superior do eixo y, ou seja, na camada positiva do mesmo. Portanto o primeiro quadrante está localizado positivamente nos eixos x e y do plano cartesiano, por isso possui dois sinais positivos, um indicando o eixo x e o outro o eixo y.

Já no caso do segundo quadrante, ele está localizado na parte negativa do eixo horizontal, por estar à esquerda do mesmo. Mas note que o segundo quadrante está localizado sob a parte superior do eixo vertical, ou seja, positivo.

O terceiro quadrante encontra-se à esquerda do eixo x e inferior ao eixo y, ou seja, ele está negativo em ambas localizações.

Por fim, o quarto quadrante está à direita do eixo x, logo, está positivo, porém, está localizado abaixo do eixo y, tornando-o negativo nesta localização.

É fundamental que você saiba os sinais dos quadrantes no círculo trigonométrico. 

Para auxiliar seus estudos, sempre que tiver dúvidas com relação aos sinais, tente desenhar o círculo trigonométrico e marcar os sinais em seus respectivos quadrantes para não se confundir.

Pois bem, aí está nosso círculo trigonométrico e seus quadrantes e ângulos principais.

Vamos agora ver como descobrir o sinal do seno, cosseno e tangente nos diferentes ângulos no círculo trigonométrico?

Tangente e os eixos Seno e Cosseno:

A primeira coisa que você deve lembrar com relação ao círculo trigonométrico é que normalmente o eixo horizontal (o eixo x) é o eixo do cosseno, assim como o eixo vertical (eixo y) é chamado de eixo do seno:

Uma dica valiosa que foi passada à mim, pelo meu professor para lembrar onde é o eixo do seno e o eixo do cosseno é: Lembre-se que a linha ''de pé'' (linha vertical) é a linha do seno, ou seja, ela está sem sono (sen). Já a linha ''deitada'' (linha horizontal) é a linha do cosseno porque ele está com sono (cos). Depois de pensar nisso você nunca mais esquece quais são os eixos corretamente, certo?

Mas e a tangente? A tangente é uma linha reta infinita que é tangente (como seu próprio nome diz) à circunferência, ou seja, ela encosta no círculo trigonométrico:

Agora vamos à um exemplo prático para vermos como se comportam os eixos e a tangente do círculo trigonométrico com seus ângulos:

Vamos descobrir os sinais do seno, cosseno e tangente do ângulo de 50 graus:

sen(50º) =

cos(50º) =

tg(50º) =

Vamos lá... Vamos criar o ângulo de 50 graus na circunfluência. Como? Primeiro vamos identificar em qual quadrante ele se encontra... 50 graus está entre 0 e 90 graus, concorda?? Então ele se localiza no primeiro quadrante, mais ou menos aqui:

Certo... Agora podemos traçar uma pequena projeção ortogonal para encontrarmos o limite deste ângulo, com relação ao eixo do seno, ou seja, o eixo vertical:

Então à partir desta projeção, você encontra exatamente o seno deste ângulo:

Agora para saber o sinal do seno de 50º lembre-se daquela relação de sinais nos quadrantes do círculo trigonométrico... O eixo do seno deste ângulo está na parte superior ou inferior do eixo y? Na parte superior, não? Então ele leva sinal positivo. Logo, o seno de 50º tem valor positivo.

Se você for ver na calculadora, o seno de 50º é aproximadamente 0,76. Isso indica que a distância do raio desta circunferência (que é unitário) até seu centro é de 76%.

Foi à partir destes cálculos que os antigos matemáticos conseguiram determinar os valores de seno, cosseno e tangante para a trigonometria, que a gente encontra na tabela trigonométrica. 

Continuando, vamos encontrar agora o sinal do cosseno de 50 graus, realizando a projeção à partir do eixo vertical, teremos o seguinte:

Então o cosseno de 50 graus está aqui:

E observando sua posição com relação ao eixo x, ele também é um valor positivo por se encontrar ao lado direito do eixo horizontal.

Para descobrirmos a tangente é bem simples, basta prolongarmos o raio da circunferência que utilizamos para criar o ângulo de 50º:

Note que como a reta é crescente, nós temos um valor positivo pra tangente.

Resposta:

sen(50º) = +

cos(50º) = +

tg(50º) = +

Vamos agora encontrar os sinais do ângulo de 287 graus:

sen(287º) = 

cos(287º) = 

tg(287º) = 

O ângulo se encontra no quarto quadrante, onde temos ângulos de 270 à 360 graus, portanto ele estará mais ou menos aqui:

Agora para encontrar a linha do seno deste ângulo, faremos a projeção:

Então temos a linha do seno de 287º aqui:

Já que esta linha encontra-se na parte inferior do eixo y, o seno de 287 graus é negativo. Confira numa calculadora e encontre aproximadamente o valor de -0,96.

Vamos encontrar a linha do cosseno de 287 graus, agora:

Perceba que a linha do cosseno do ângulo de 287º está localizada na parte direita do eixo x, ou seja, um valor positivo. 

Agora para a tangente, apenas prolongue o raio da circunferência:

Como a linha é decrescente, a tangente é negativa:

sen(287º) = -

cos(287º) = +

tg(287º) = -

Uma dica para descobrir rapidamente o sinal da tangente de um ângulo sem ter a necessidade de tracejar um desenho é você se lembrar que a tangente é a divisão entre o seno e o cosseno do ângulo, então se o seno tiver sinal positivo por exemplo, e o cosseno sinal negativo, basta fazer a regra de sinais:

+ + = +

- - = +

+ - = -

- + = -

Logo, se o seno tiver sinal positivo e o cosseno negativo, a tangente terá sinal negativo.

Curiosidade:

Se você já leu nossa aula sobre a Lei dos Co-Senos, você pode se lembrar que numa determinada parte desta aula nós tínhamos que calcular o cosseno do ângulo obtuso de 120º de um triângulo.

Pois bem, nesta aula eu apresentei um jeito simples de se conhecer o ângulo suplementar de um ângulo obtuso à partir desta equação:

cos(ângulo) = -cos(180 - ângulo)

Onde no caso do ângulo de 120 graus teríamos algo como isto:

cos(120) = -cos(180 - 120)

Eu havia dito naquela aula que posteriormente iria explicar do porquê dos ângulos suplementares de ângulos obtusos teriam o cosseno negativo.

Bem, na aula de hoje você percebeu que qualquer ângulo maior que noventa graus e menor que 270º terá cosseno negativo, pois através da projeção de qualquer ângulo nos quadrantes com ângulos maiores de 90 graus e menores que 270 graus, todas as linhas do cosseno destes ângulos aparecerão do lado esquerdo do eixo x (o eixo do cosseno):

Por isso quando temos um ângulo obtuso, ou seja, maior que 90º a ser calculado, o seu suplemento terá valor de cosseno negativo.

Porém, como a soma dos três ângulo internos de um triângulo sempre será 180º, não nos preocupamos com os ângulos maiores que 180 graus para encontramos o suplemento de um ângulo, aliás nem deveríamos.

Final:

E este é o final desta aula, que foi apenas um resumo sobre os eixos de seno e cosseno no círculo trigonométrico e suas relações com a tangente.

Acompanhe as aulas posteriores sobre o assunto para ampliar seus conhecimentos.

Bons estudos.