Progressão Aritmética

O que é?
Uma progressão artimética é uma sequência lógica de números ordenados por uma razão.
Uma sequência lógica é uma "fila" de números ordenados que seguem um padrão determinado, podendo assim, ser previsto o próximo número da sequência, por exemplo:

A sequência "A":

2, 4, 6, 8, 10, 12 (...)

Apenas observando a sequência você já pode concluir que trata-se da sequência dos números pares, ou ainda da tabuada do 2.
Com base da sequência você pode facilmente descobrir o próximo número nesta sequência A:
Se temos números dispostos de 2 em 2 sem apresentar variações à cada um deles, sabemos então, por questão de lógica que o próximo número é o 14, depois o 16, logo em seguida o 18, depois vem o 20, daí teremos o 22 e assim sucessivamente...
Essa sequência é também uma progressão aritmética, pois os números dispostos na sequência sempre seguem um padrão.
Numa progressão aritmética, os números da sequência tem o nome de ''termo'', isso significa que o número 2 é um termo, o 4 é outro, o 6 é outro termo e assim por diante...


Posição dos termos da P.A:
Outra característica da Progressão Aritmética (P.A) é a posição dos termos na sequência. 
Por exemplo, o número 2 é o primeiro termo da P.A, o número 4 é o segundo termo, o número 12 é o sexto termo e assim continua...
Na matemática, numa P.A a posição do termo na sequência é representado pela letra "a" seguido de um índice indicando a posição do termo: 

Para ficar mais claro:

Na sequência "A" o terceiro termo da P.A é o número 6, então temos que:



Nesta mesma sequência, o quinto termo é o número 10, então:



E agora você poderia me dizer o primeiro termo da sequência, ou seja, a1?
Se você respondeu o número ''2'' você está correto(a):



Então na prática, a sequência "A" de 2 à 12 fica da seguinte forma:



Razão da P.A:
Por fim, outra característica da Progressão Aritmética é sua razão.
Note que na sequência "A" os números vão aumentando de 2 em 2.
Outro modo de se pensar isso é você raciocinar que a razão da P.A é a subtração do segundo termo pelo primeiro termo:

a2 = 4
a1 = 2

4 - 2 = 2

Ou... A subtração do terceiro termo com o segundo termo:

a3 = 6
a2 = 4

6 - 4 = 2

E ainda... A subtração do quarto termo com o terceiro termo:

a4 = 8
a3 = 6

8 - 6 = 2

Perceba que não importa quais dos termos próximos você subtrair, nós sempre teremos um valor constante (ou, seja, um valor que não se altera) e este valor tem o nome de razão, que é representado pela letra ''R'' maiúscula. 

Pois bem, você saberia me dizer qual é a razão desta P.A?

12, 17, 22, 27, 32, 37 (...)

Para desobrir a razão da P.A, basta subtrair qualquer termo da sequência pelo seu antecessor, normalmente podemos fazer isso com o a1 e o a2:

a2 = 17
a1 = 12

17 - 12 = 5

Ai está! A razão da P.A é 5.
E de fato, você logo percebe que a progressão aumenta de 5 em 5, ou seja:

12 + 5 = 17
17 + 5 = 22
22 + 5 = 27
27 + 5 = 32
32 + 5 = 37

Com base disso, você pode facilmente encontrar o próximo termo da sequência: Se o último termo apresentado foi 37, se somarmos à ele + 5 teremos 42, daí para o próximo termo basta somar-se mais 5 -> 42 + 5 = 47, e assim vai indo até onde você desejar ou precisar.

Encontrando os termos da P.A:
Identificar os próximos termos de uma P.A (ou sua posição) não lhe parece uma tarefa muito difícil desde que se saiba sua razão, certo? 
Mas e se fosse pedido por exemplo, o trigéssimo termo da seguinte P.A:

11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 (...)

Nota-se então que:



Porém, para saber o trigéssimo termo da P.A, ou seja, , basta escrever essa sequência até que se encontre o termo desejado. Mas você concorda que isso daria um trabalho imenso?
Pois então, temos um jeito mais simples de se encontrar o termo da P.A sem a necessidade de escrever a sequência toda, e esse jeito mais simples depende da seguinte fórmula:



Essa fórmula chama-se fórmula do termo geral! 
Vamos ver agora como aplicar os valores na fórmula:

an representa o valor do termo que queremos encontrar, já a1 representa o valor do primeiro termo da P.A, então "n" representa a posição do termo que queremos saber, e "R" é a razão da P.A.
Você já sabe como encontrar a razão de uma P.A, basta subtrair o a2 do a1:

a2 = 15
a1 = 11

15 - 11 = 4

Então a razão desta P.A é igual à 4.

Pois bem... Queremos encontrar o trigéssimo termo dessa Progressão Aritmética, ou seja, o a30, então temos que:

an = x (termo que queremos encontrar)
a1 = 11 (primeiro termo apresentado na sequência)
n = 30 (a posição do termo que queremos encontrar)
R = 4 (razão da P.A)

Aplicando os valores na fórmula temos que:



Resolvendo:



Então se x = 127, isso significa que o trigéssimo termo da P.A é o 127.

Vamos ver mais outro exemplo?

Na seguinte P.A:

94, 106, 118, 130, 142 (...)

Encontre o décimo terceiro termo, ou seja, o a13.

Vamos lá... Primeiramente precisamos saber a razão da P.A, para isso, basta subtrair algum termo pelo seu antecessor, pode ser o a2 pelo a1 como de costume:

a2 = 106
a1 = 94

106 - 94 = 12

Então encontramos a razão da Progressão Aritmética, que é 12.

Agora podemos encontrar o a13 com auxílio da fórmula do termo geral, sendo que:

an = x
a1 = 94
n = 13
R = 12

Então na fórmula ficamos com:



Conclusão: o décimo terceiro termo da P.A o a13 é igual à 238.

Para comprovar a eficácia da fórmula, podemos fazer o inverso também: Vamos supor que sabemos apenas o valor do termo 238, mas não sabemos sua posição na P.A.
Em função disso então temos que:

an = 238 (pois sabemos o valor do termo)
a1 = 94
n = (a posição do termo que queremos achar)
R = 12

Aplicando os valores na fórmula:



Perceba que n = 13, ou seja, temos o valor exato da posição do termo 238 na P.A que é 13, como já sabemos.
Em resumo: Essa fórmula nos é útil para encontramos tanto algum termo da P.A, quanto sua posição na mesma.

E o que acontece se não sabermos o início da P.A, muito menos temos a visualização de alguns termos, apenas a informação de dois deles? O que eu faço?

Por exemplo, numa P.A onde o termo a8 = 44 e a29 = 149, você deve encontrar a razão dessa P.A e o a17.
Como fazer?

Não podemos utilizar a fórmula do termo geral pois não sabemos a razão da P.A, muito menos o a1.
Por conta disso... Podemos utilizar uma outra fórmula, esta aqui:



Nessa fórmula "am" e "an'' são os valores dos termos conhecidos, enquanto ''m'' e ''n'' são respectivamente suas posições na P.A.
Podemos utilizar essa duas informações dos termos da sequência para encontrarmos primeiramente a razão da mesma, observe:

am = 149
an = 44
m = 29
n = 8
R = ? Não sabemos ainda:

Aplicamos os valores na fórmula iremos ter o seguinte:



Resolvendo:



Então descobrimos a razão dessa P.A: 5

Agora podemos prosseguir e encontrar o termo a17, basta re-utilizar a fórmula utilizando alguns dos dois termos conhecidos, não importa a sua escolha, o resultado será o mesmo, vamos lá:

am = 149
an = x (valor do termo que vamos encontrar)
m = 29
n = 17 (posição do termo que não sabemos o valor)
R = 5

Na fórmula:



Portanto, o a17 dessa P.A é igual à 89.

Resolvendo problemas de sequência:
Agora que você já sabe como encontrar os termos e suas posições numa P.A, sua razão e identificar seus valores nas fórmulas, que tal aprender a resolver problemas de lógica com sequências e P.As?

Vamos lá:

Ex1. Em Janeiro de 2014, Marcela ganhava R$65,00. Seu patrão prometeu que irá aumentar R$7,00 em seu salário à cada mês.
Quanto será o salário de Marcela em Março do ano seguinte?

Ex2. Uma caixa d’água de 1.000 litros está completamente cheia e vaza 7 litros por hora.  Quantos litros terá a caixa 24 horas depois do instante em que estava
cheia?

Ex3. Um menino tem R$ 19,00 no seu cofre e, a partir de certo mês, passou a tirar R$ 0,80 todos os dias para um sorvete.
Que quantia havia no cofre após o sorvete do 15º dia?

Ex4. Uma criança está brincando de fazer quadrados com palitos de fósforo
como mostra o desenho:

Quantos quadrados ela fez com 250 palitos?

(Os três últimos exercícios foram retirados do livro de matemática: Telecurso 2000 Matemática nivel II)

Vamos primeiramente resolver o exercício 1:

Ex1. Em Janeiro de 2014, Marcela ganhava R$65,00. Seu patrão prometeu que irá aumentar R$7,00 em seu salário à cada mês.
Quanto será o salário de Marcela em Março do ano seguinte?

Vamos pensar... O início do salário da Marcela é de R$65,00 reais, ou seja, o valor inicial da sequência é 65, portanto o a1 é:

a1 = 65

Se for adicionado à seu salário à todo mês mais 7 reais, então a sequência fica:

a1 = 65

a2 = 72

a3 = 79

a4 = 86

E assim sucessivamente... Ou seja, de acordo com essa sequência, no quarto mês (a4) Marcela já vai estar ganhando R$ 86,00 reais.

Com relação à isso, podemos dizer que a posição dos termos da P.A representa os meses do ano, e seu valor, o salário da moça com o aumento de R$7,00 (que é a razão da progressão).

Então qual seria o índice da posição para o mês de março do ano seguinte?

Se a1 representa o mês de Janeiro, a12 então representa o mês de Dezembro, tendo em vista que a13 será o mês de Janeiro do ano seguinte, a14 o mês de Fevereiro do próximo ano e a15 o mês de Março que é o mês que queremos saber quanto a Marcela estará ganhando.

Então como temos a informação do primeiro termo da P.A e sua razão, podemos aplicar a fórmula do termo geral:

an = x (Valor que queremos encontrar)

a1 = 65 (Salário inicial da moça)

n = 15 (mês que queremos saber quanto estará o salário de Marcela)

R = 7 (aumento em seu salário mensalmente)

Substituindo os valores na fórmula:



Resolução:



Resposta: Marcela estará ganhando em Março de 2015 R$ 163,00 reais com o aumento de R$7,00 todo mês em seu salário.

Vamos agora resolver o problema seguinte:

Ex2. Uma caixa d’água de 1.000 litros está completamente cheia e vaza 7 litros por hora.  Quantos litros terá a caixa 24 horas depois do instante em que estava cheia?

Certo... Então à cada hora perde-se 7 litros de água, portanto já sabemos que a razão da P.A é 7.

No início antes da vazão de água, a caixa d'gua tinha acumulado 1000 litros.

Vamos representar então ''a1'' por 1000, pois é o início da sequência.

Isso significa que em duas horas a caixa estará com 1000-7, ou seja, 993 litros, isto é, o a2 = 993.

Isso indica que podemos representar o índice da P.A pelas horas passadas durante o vazamento, ou seja, a5 por exemplo, será o valor da quantidade de litros dentro da caixa após 5 horas, a6 6 horas, a10 10 horas, e assim por diante...

O que nos leva a pensar que após 24 horas (o tempo pedido no problema) teremos o a24.

Como sabemos o termo inicial da P.A e a sua razão, a fórmula do termo geral nos será útil:

Como estamos perdendo água e não ganhando, ao invés de utilizamos o sinal de mais (positivo), na fórmula utilizaremos o sinal de negativo:

Então temos que:

an = x (Quantidade de água que queremos encontrar)

a1 = 1000 litros (quantidade inicial de água dentro da caixa)

n = 24 (horas após o vazamento que queremos verificar)

R = 7 (quantidade de litros que vaza de hora em hora)

Na fórmula:

Portanto, se continuar esta caixa d'água a vazar de 7 em 7 litros à cada uma hora, após 24 horas desse vazamento, a caixa terá 839 litros, desde que se tinha 1000 litros inicialmente.

Próximo problema:

Ex3. Um menino tem R$ 19,00 no seu cofre e, a partir de certo mês, passou a tirar R$ 0,80 todos os dias para um sorvete.
Que quantia havia no cofre após o sorvete do 15º dia?

Este problema é muito similar ao problema anterior:
Se inicialmente este menino tinha R$19,00 reais no cofrinho, e começou a retirar do mesmo R$0,80 centavos à todo dia, temos nossa razão: 0,80.
No primeiro dia ele tinha 19 reais mas comprou o sorvete e gastou R$0,80 centavos, então:

19,00 - 0,80 = 18,20

Portanto:

a1 = 18,20

Quando passou a retirar os oitenta centavos do cofre, no segundo dia ele tinha então 18,20 - 0,80 = 17,40

Então, a2 = 17,40

No décimo quinto dia ele passou a ter... x! Pois não sabemos seu valor (e é o que iremos calcular). Ou seja, queremos encontrar o a15, vamos lá:

Com a fórmula do termo geral, temos:

Mas como o garoto perde dinheiro e não ganha, a fórmula fica assim:

Para os valores da fórmula temos que:

an = x

a1 = 18,20 (pois foi quando ele começou a retirar dinheiro do cofre, e o primeiro dia conta)

n = 15

R = 0,80

Então:

Isso significa que no décimo quinto dia, ele terá em seu cofre R$7,00 reais.

Por fim, vamos resolver o último problema:

Ex4. Uma criança está brincando de fazer quadrados com palitos de fósforo
como mostra o desenho:

Quantos quadrados ela fez com 250 palitos?

Esse problema requer um pouco mais de raciocínio lógico: Preste atenção:

A criança gasta 4 palitos no primeiro quadrado e precisa de apenas três palitos para criar o quadrado do lado, pois cada um dos palitos estão dispostos um do lado do outro, ou seja, eles tem sempre um lado em comum com seu quadrado anterior.

Se 4 palitos formam o primeiro quadrado, podemos representar a quantidade de quadrados formados pelos palitos pelo índice da P.A, e seu valor, ou seja, quantos palitos foram gastos em cada quadrado, pelo termo.
Isto é: Com um quadrado temos quatro palitos, ou seja:

a1 = 4

Com dois quadrados teremos gasto ao todo 7 palitos (pois um dos lados já foi suprido pelo quadrado anterior):

a2 = 7

Em três quadrados:

a3 = 10

Quatro quadrados:

a4 = 13

Ou seja, a razão é 3, pois a quantidade de palitos gastas em cada quadrado aumenta de 3 em 3.

O problema nos pede o valor de quantos quadrados a criança fará com 250 palitos.
Se o valor de quadrados é o índice da P.A, então an = x.

Não vamos utilizar a fórmula do termo geral, pois nós temos a informação do primeiro quadrado e seus respectivos palitos da sequência, e no caso aqui, queremos saber o índice do termo 250. Para isto, nossa outra fórmula será mais útil:



am = 4 (palitos iniciais)
an = (250 a quantidade palitos utilizados)
m = 1 (índice da sequência do termo 4, por se tratar do primeiro quadrado)
n  (o que queremos encontrar, ou seja, quantos quadrados se formarão com 250 palitos)
R = 3 (razão da P.A)

Então ficamos com:




Ou seja, a criança com 250 palitos poderá formar 83 quadrados.

Finalização:
E esta aula chegou ao fim! Acompanhe as aulas posteriores para saber tudo com relação à sequências e progressões.